数据结构常见的八大排序算法

醋
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前言

八大排序，三大查找是《数据结构》当中非常基础的知识点，在这里为了复习顺带总结了一下常见的八种排序算法。
常见的八大排序算法，他们之间关系如下：


排序算法.png


他们的性能比较：


性能比较.png


下面，利用Python分别将他们进行实现。

直接插入排序

  • 算法思想：

直接插入排序.gif


直接插入排序的核心思想就是：将数组中的所有元素依次跟前面已经排好的元素相比较，如果选择的元素比已排序的元素小，则交换，直到全部元素都比较过。
因此，从上面的描述中我们可以发现，直接插入排序可以用两个循环完成：

  1. 第一层循环：遍历待比较的所有数组元素
  2. 第二层循环：将本轮选择的元素(selected)与已经排好序的元素(ordered)相比较。
    如果：selected > ordered，那么将二者交换
  • 代码实现
    #直接插入排序
def insert_sort(L):
  #遍历数组中的所有元素，其中0号索引元素默认已排序，因此从1开始
  for x in range(1,len(L)):
  #将该元素与已排序好的前序数组依次比较，如果该元素小，则交换
  #range(x-1,-1,-1):从x-1倒序循环到0
      for i in range(x-1,-1,-1):
  #判断：如果符合条件则交换
          if L[i] > L[i+1]:
              temp = L[i+1]
              L[i+1] = L[i]
              L[i] = temp

希尔排序

  • 算法思想：

希尔排序.png


希尔排序的算法思想：将待排序数组按照步长gap进行分组，然后将每组的元素利用直接插入排序的方法进行排序；每次将gap折半减小，循环上述操作；当gap=1时，利用直接插入，完成排序。
同样的：从上面的描述中我们可以发现：希尔排序的总体实现应该由三个循环完成：

  1. 第一层循环：将gap依次折半，对序列进行分组，直到gap=1
  2. 第二、三层循环：也即直接插入排序所需要的两次循环。具体描述见上。
  • 代码实现：
    #希尔排序
def insert_shell(L):
  #初始化gap值，此处利用序列长度的一般为其赋值
  gap = (int)(len(L)/2)
  #第一层循环：依次改变gap值对列表进行分组
  while (gap >= 1):
  #下面：利用直接插入排序的思想对分组数据进行排序
  #range(gap,len(L)):从gap开始
      for x in range(gap,len(L)):
  #range(x-gap,-1,-gap):从x-gap开始与选定元素开始倒序比较，每个比较元素之间间隔gap
          for i in range(x-gap,-1,-gap):
  #如果该组当中两个元素满足交换条件，则进行交换
              if L[i] > L[i+gap]:
                  temp = L[i+gap]
                  L[i+gap] = L[i]
                  L[i] =temp
  #while循环条件折半
      gap = (int)(gap/2)

简单选择排序

  • 算法思想

简单选择排序.gif


简单选择排序的基本思想：比较+交换。

  1. 从待排序序列中，找到关键字最小的元素；
  2. 如果最小元素不是待排序序列的第一个元素，将其和第一个元素互换；
  3. 从余下的 N - 1 个元素中，找出关键字最小的元素，重复(1)、(2)步，直到排序结束。
    因此我们可以发现，简单选择排序也是通过两层循环实现。
    第一层循环：依次遍历序列当中的每一个元素
    第二层循环：将遍历得到的当前元素依次与余下的元素进行比较，符合最小元素的条件，则交换。
  • 代码实现
    # 简单选择排序
def select_sort(L):
#依次遍历序列中的每一个元素
  for x in range(0,len(L)):
#将当前位置的元素定义此轮循环当中的最小值
      minimum = L[x]
#将该元素与剩下的元素依次比较寻找最小元素
      for i in range(x+1,len(L)):
          if L[i] < minimum:
              temp = L[i];
              L[i] = minimum;
              minimum = temp
#将比较后得到的真正的最小值赋值给当前位置
      L[x] = minimum

堆排序

  • 堆的概念
    堆：本质是一种数组对象。特别重要的一点性质：任意的叶子节点小于（或大于）它所有的父节点。对此，又分为大顶堆和小顶堆，大顶堆要求节点的元素都要大于其孩子，小顶堆要求节点元素都小于其左右孩子，两者对左右孩子的大小关系不做任何要求。
    利用堆排序，就是基于大顶堆或者小顶堆的一种排序方法。下面，我们通过大顶堆来实现。

  • 基本思想：
    堆排序可以按照以下步骤来完成：

    1. 首先将序列构建称为大顶堆；
      （这样满足了大顶堆那条性质：位于根节点的元素一定是当前序列的最大值）

      构建大顶堆.png
    2. 取出当前大顶堆的根节点，将其与序列末尾元素进行交换；
      （此时：序列末尾的元素为已排序的最大值；由于交换了元素，当前位于根节点的堆并不一定满足大顶堆的性质）
    3. 对交换后的n-1个序列元素进行调整，使其满足大顶堆的性质；

      Paste_Image.png
    4. 重复2.3步骤，直至堆中只有1个元素为止

  • 代码实现：

    #-------------------------堆排序--------------------------------
#**********获取左右叶子节点**********
def LEFT(i):
  return 2*i + 1
def RIGHT(i):
  return 2*i + 2
#********** 调整大顶堆 **********
#L:待调整序列 length: 序列长度 i:需要调整的结点
def adjust_max_heap(L,length,i):
#定义一个int值保存当前序列最大值的下标
  largest = i
#执行循环操作：两个任务：1 寻找最大值的下标；2.最大值与父节点交换
  while (1):
#获得序列左右叶子节点的下标
      left,right = LEFT(i),RIGHT(i)
#当左叶子节点的下标小于序列长度 并且 左叶子节点的值大于父节点时，将左叶子节点的下标赋值给largest
      if (left < length) and (L[left] > L[i]):
          largest = left
          print('左叶子节点')
      else:
          largest = i
#当右叶子节点的下标小于序列长度 并且 右叶子节点的值大于父节点时，将右叶子节点的下标值赋值给largest
      if (right < length) and (L[right] > L[largest]):
          largest = right
          print('右叶子节点')
#如果largest不等于i 说明当前的父节点不是最大值，需要交换值
      if (largest != i):
          temp = L[i]
          L[i] = L[largest]
          L[largest] = temp
          i = largest
          print(largest)
          continue
      else:
          break
#********** 建立大顶堆 **********
def build_max_heap(L):
  length = len(L)
  for x in range((int)((length-1)/2),-1,-1):
      adjust_max_heap(L,length,x)
#********** 堆排序 **********
def heap_sort(L):
#先建立大顶堆，保证最大值位于根节点；并且父节点的值大于叶子结点
  build_max_heap(L)
#i：当前堆中序列的长度.初始化为序列的长度
  i = len(L)
#执行循环：1. 每次取出堆顶元素置于序列的最后(len-1,len-2,len-3...)
#         2. 调整堆，使其继续满足大顶堆的性质，注意实时修改堆中序列的长度
  while (i > 0):
      temp = L[i-1]
      L[i-1] = L[0]
      L[0] = temp
#堆中序列长度减1
      i = i-1
#调整大顶堆
      adjust_max_heap(L,i,0)

冒泡排序

  • 基本思想

    冒泡排序.gif

    冒泡排序思路比较简单：
    1. 将序列当中的左右元素，依次比较，保证右边的元素始终大于左边的元素；
      （ 第一轮结束后，序列最后一个元素一定是当前序列的最大值；）
    2. 对序列当中剩下的n-1个元素再次执行步骤1。
    3. 对于长度为n的序列，一共需要执行n-1轮比较
      （利用while循环可以减少执行次数）

*代码实现

#冒泡排序
def bubble_sort(L):
    length = len(L)
#序列长度为length，需要执行length-1轮交换
    for x in range(1,length):
#对于每一轮交换，都将序列当中的左右元素进行比较
#每轮交换当中，由于序列最后的元素一定是最大的，因此每轮循环到序列未排序的位置即可
        for i in range(0,length-x):
            if L[i] > L[i+1]:
                temp = L[i]
                L[i] = L[i+1]
                L[i+1] = temp

快速排序

  • 算法思想：

    快速排序.gif

    快速排序的基本思想：挖坑填数+分治法
    1. 从序列当中选择一个基准数(pivot)
      在这里我们选择序列当中第一个数最为基准数
    2. 将序列当中的所有数依次遍历，比基准数大的位于其右侧，比基准数小的位于其左侧
    3. 重复步骤1.2，直到所有子集当中只有一个元素为止。
      用伪代码描述如下：
      1．i =L; j = R; 将基准数挖出形成第一个坑a[i]。
      2．j--由后向前找比它小的数，找到后挖出此数填前一个坑a[i]中。
      3．i++由前向后找比它大的数，找到后也挖出此数填到前一个坑a[j]中。
      4．再重复执行2，3二步，直到i==j，将基准数填入a[i]中
  • 代码实现：
    #快速排序
#L：待排序的序列；start排序的开始index,end序列末尾的index
#对于长度为length的序列：start = 0;end = length-1
def quick_sort(L,start,end):
  if start < end:
      i , j , pivot = start , end , L[start]
      while i < j:
#从右开始向左寻找第一个小于pivot的值
          while (i < j) and (L[j] >= pivot):
              j = j-1
#将小于pivot的值移到左边
          if (i < j):
              L[i] = L[j]
              i = i+1 
#从左开始向右寻找第一个大于pivot的值
          while (i < j) and (L[i] < pivot):
              i = i+1
#将大于pivot的值移到右边
          if (i < j):
              L[j] = L[i]
              j = j-1
#循环结束后，说明 i=j，此时左边的值全都小于pivot,右边的值全都大于pivot
#pivot的位置移动正确，那么此时只需对左右两侧的序列调用此函数进一步排序即可
#递归调用函数：依次对左侧序列：从0 ~ i-1//右侧序列：从i+1 ~ end
      L[i] = pivot
#左侧序列继续排序
      quick_sort(L,start,i-1)
#右侧序列继续排序
      quick_sort(L,i+1,end)

归并排序

  • 算法思想：


    归并排序.gif
    1. 归并排序是建立在归并操作上的一种有效的排序算法，该算法是采用分治法的一个典型的应用。它的基本操作是：将已有的子序列合并，达到完全有序的序列；即先使每个子序列有序，再使子序列段间有序。

    2. 归并排序其实要做两件事：

      • 分解----将序列每次折半拆分
      • 合并----将划分后的序列段两两排序合并
        因此，归并排序实际上就是两个操作，拆分+合并

    3. 如何合并？
      L[first...mid]为第一段，L[mid+1...last]为第二段，并且两端已经有序，现在我们要将两端合成达到L[first...last]并且也有序。

      • 首先依次从第一段与第二段中取出元素比较，将较小的元素赋值给temp[]
      • 重复执行上一步，当某一段赋值结束，则将另一段剩下的元素赋值给temp[]
      • 此时将temp[]中的元素复制给L[]，则得到的L[first...last]有序

    4. 如何分解？
      在这里，我们采用递归的方法，首先将待排序列分成A,B两组；然后重复对A、B序列
      分组；直到分组后组内只有一个元素，此时我们认为组内所有元素有序，则分组结束。

  • 代码实现

    # 归并排序
#这是合并的函数
# 将序列L[first...mid]与序列L[mid+1...last]进行合并
def mergearray(L,first,mid,last,temp):
#对i,j,k分别进行赋值
  i,j,k = first,mid+1,0
#当左右两边都有数时进行比较，取较小的数
  while (i <= mid) and (j <= last):
      if L[i] <= L[j]:
          temp[k] = L[i]
          i = i+1
          k = k+1
      else:
          temp[k] = L[j]
          j = j+1
          k = k+1
#如果左边序列还有数
  while (i <= mid):
      temp[k] = L[i]
      i = i+1
      k = k+1
#如果右边序列还有数
  while (j <= last):
      temp[k] = L[j]
      j = j+1
      k = k+1
#将temp当中该段有序元素赋值给L待排序列使之部分有序
  for x in range(0,k):
      L[first+x] = temp[x]
# 这是分组的函数
def merge_sort(L,first,last,temp):
  if first < last:
      mid = (int)((first + last) / 2)
#使左边序列有序
      merge_sort(L,first,mid,temp)
#使右边序列有序
      merge_sort(L,mid+1,last,temp)
#将两个有序序列合并
      mergearray(L,first,mid,last,temp)
# 归并排序的函数
def merge_sort_array(L):
#声明一个长度为len(L)的空列表
  temp = len(L)*[None]
#调用归并排序
  merge_sort(L,0,len(L)-1,temp)

基数排序

  • 算法思想

    基数排序.gif
    1. 基数排序：通过序列中各个元素的值，对排序的N个元素进行若干趟的“分配”与“收集”来实现排序。
      分配：我们将L[i]中的元素取出，首先确定其个位上的数字，根据该数字分配到与之序号相同的桶中
      收集：当序列中所有的元素都分配到对应的桶中，再按照顺序依次将桶中的元素收集形成新的一个待排序列L[ ]
      对新形成的序列L[]重复执行分配和收集元素中的十位、百位...直到分配完该序列中的最高位，则排序结束
    2. 根据上述“基数排序”的展示，我们可以清楚的看到整个实现的过程
  • 代码实现
    #************************基数排序****************************
#确定排序的次数
#排序的顺序跟序列中最大数的位数相关
def radix_sort_nums(L):
  maxNum = L[0]
#寻找序列中的最大数
  for x in L:
      if maxNum < x:
          maxNum = x
#确定序列中的最大元素的位数
  times = 0
  while (maxNum > 0):
      maxNum = (int)(maxNum/10)
      times = times+1
  return times
#找到num从低到高第pos位的数据
def get_num_pos(num,pos):
  return ((int)(num/(10**(pos-1))))%10
#基数排序
def radix_sort(L):
  count = 10*[None]        #存放各个桶的数据统计个数
  bucket = len(L)*[None]  #暂时存放排序结果
#从低位到高位依次执行循环
  for pos in range(1,radix_sort_nums(L)+1):
      #置空各个桶的数据统计
      for x in range(0,10):
          count[x] = 0
      #统计当前该位(个位，十位，百位....)的元素数目
      for x in range(0,len(L)):
          #统计各个桶将要装进去的元素个数
          j = get_num_pos(int(L[x]),pos)
          count[j] = count[j]+1
      #count[i]表示第i个桶的右边界索引
      for x in range(1,10):
          count[x] = count[x] + count[x-1]
      #将数据依次装入桶中
      for x in range(len(L)-1,-1,-1):
          #求出元素第K位的数字
          j = get_num_pos(L[x],pos)
          #放入对应的桶中，count[j]-1是第j个桶的右边界索引
          bucket[count[j]-1] = L[x]
          #对应桶的装入数据索引-1
          count[j] = count[j]-1
      # 将已分配好的桶中数据再倒出来，此时已是对应当前位数有序的表
      for x in range(0,len(L)):
          L[x] = bucket[x]

后记

写完之后运行了一下时间比较：

  • 1w个数据时：
    直接插入排序:11.615608
希尔排序:13.012008
简单选择排序:3.645136000000001
堆排序:0.09587900000000005
冒泡排序:6.687218999999999
#****************************************************
快速排序:9.999999974752427e-07 
#快速排序有误：实际上并未执行
#RecursionError: maximum recursion depth exceeded in comparison
#****************************************************
归并排序:0.05638299999999674
基数排序:0.08150400000000246
  • 10w个数据时：
    直接插入排序:1233.581131
希尔排序:1409.8012320000003
简单选择排序:466.66974500000015
堆排序:1.2036720000000969
冒泡排序:751.274449
#****************************************************
快速排序:1.0000003385357559e-06
#快速排序有误：实际上并未执行
#RecursionError: maximum recursion depth exceeded in comparison
#****************************************************
归并排序:0.8262230000000272
基数排序:1.1162899999999354
    从运行结果上来看，堆排序、归并排序、基数排序真的快。
    对于快速排序迭代深度超过的问题，可以将考虑将快排通过非递归的方式进行实现。

参考资料

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