跳跃表 — 一个可以在有序元素中实现快速查询的数据结构

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2017-09-07
原文链接:61mon.com

一:背景

跳跃表(英文名:Skip List),于 1990 年 William Pugh 发明,是一个可以在有序元素中实现快速查询的数据结构,其插入,查找,删除操作的平均效率都为 O(logn)。

跳跃表的整体性能可以和二叉查找树(AVL 树,红黑树等)相媲美,其在 RedisLevelDB 中都有广泛的应用。

每个结点除了数据域,还有若干个指针指向下一个结点。

整体上看,Skip List 就是带有层级结构的链表(结点都是排好序的),最下面一层(level 0)是所有结点组成的一个链表,依次往上,每一层也都是一个链表。不同的是,它们只包含一部分结点,并且越往上结点越少。仔细观察你会发现,通过增加层数,从当前结点可以直接访问更远的结点(这也就是 Skip List 的精髓所在),就像跳过去一样,所以取名叫 Skip List(跳跃表)。

二:过程分析

先来看下跳跃表的整体代码结构:

#define P 0.25
#define MAX_LEVEL 32

struct Node
{
    int key;
    Node ** forward;
    Node(int key = 0, int level = MAX_LEVEL)
    {
        this->key = key;
        forward = new Node*[level];
        memset(forward, 0, level * sizeof(Node*));
    }
};

class SkipList
{
private:
    Node * header;
    int level;
private:
    int random_level();
public:
    SkipList();
    ~SkipList();
    bool insert(int key);
    bool find(int key);
    bool erase(int key);
    void print();
};

2.1 插入

首先,我们要找到 10 在每一层应该被插入的位置,因此需要一个临时数组update[]来记录位置信息。

其次,我们要确定结点 10 的层数(结点 9 的层数为 2,结点 12 的层数为 1)。

理想的跳跃表结构是:第一层有全部的结点,第二层有 12 的结点,且是均匀间隔的,第三层有 14 的结点,且也是均匀间隔的...,那么整个表的层数就是 logn。每一次插入一个新结点时,最好的做法就是根据当前表的结构得到一个合适的层数,插入后可以让跳跃表尽量接近理想的结构,但这在实现上会非常困难。Pugh 的论文中提出的方法是根据概率随机为新结点生成一个层数,具体的算法如下:

  1. 给定一个概率 p(p 小于 1),产生一个 [0,1) 之间的随机数;
  2. 如果这个随机数小于 p,则层数加 1;
  3. 重复以上动作,直到随机数大于概率 p(或层数大于程序给定的最大层数限制)。

虽然随机生成的层数会打破理想结构,但这种结构的期望复杂度依旧是 O(logn),稍后文尾会给出证明。

最后,把结点 10 和它的前后结点连起来就行了。

int SkipList::random_level()
{
    int level = 1;

    while ((rand() & 0xffff) < (P * 0xffff) && level < MAX_LEVEL)
        level++;

    return level;
}

bool SkipList::insert(int key)
{
    Node * node = header;
    Node * update[MAX_LEVEL];
    memset(update, 0, MAX_LEVEL * sizeof(Node*));

    for (int i = level - 1; i >= 0; i--)
    {
        while (node->forward[i] && node->forward[i]->key < key)
            node = node->forward[i];
        update[i] = node;
    }

    node = node->forward[0];

    if (node == nullptr || node->key != key)
    {
        int new_level = random_level();

        if (new_level > level)
        {
            for (int i = level; i < new_level; i++)
                update[i] = header;

            level = new_level;
        }

        Node * new_node = new Node(key, new_level);

        for (int i = 0; i < new_level; i++)
        {
            new_node->forward[i] = update[i]->forward[i];
            update[i]->forward[i] = new_node;
        }

        return true;
    }

    return false;
}

2.2 查找

查找操作很简单,例如上图,现要查找 20,

  1. 从最高层开始找,17 < 20,继续往后,发现是NULL,则往下一层继续查找;
  2. 25 > 20,则往下一层继续查找;
  3. 找到 20。
bool SkipList::find(int key)
{
    Node * node = header;

    for (int i = level - 1; i >= 0; i--)
    {
        while (node->forward[i] && node->forward[i]->key <= key)
            node = node->forward[i];

        if (node->key == key)
            return true;
    }

    return false;
}

2.3 删除

删除操作跟插入操作类似。 首先找到我们要删除结点的位置,在查找时使用临时空间来记录结点在每一层的位置,接着就是逐层的链表删除操作。 最后记住要释放空间。 删除结点之后,如果最高层没有结点存在,那么相应的,跳跃表的层数就应该降低

bool SkipList::erase(int key)
{
    Node * node = header;
    Node * update[MAX_LEVEL];
    fill(update, update + MAX_LEVEL, nullptr);

    for (int i = level - 1; i >= 0; i--)
    {
        while (node->forward[i] && node->forward[i]->key < key)
            node = node->forward[i];
        update[i] = node;
    }

    node = node->forward[0];

    if (node && node->key == key)
    {
        for (int i = 0; i < level; i++)
            if (update[i]->forward[i] == node)
                update[i]->forward[i] = node->forward[i];

        delete node;

        for (int i = level - 1; i >= 0; i--)
        {
            if (header->forward[i] == nullptr)
                level--;
            else
                break;
        }
    }

    return false;
}

三:完整代码

/**
*
* author 刘毅(Limer)
* date   2017-09-01
* mode   C++
*/
#include <iostream>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
using namespace std;

#define P 0.25
#define MAX_LEVEL 32

struct Node
{
    int key;
    Node ** forward;
    Node(int key = 0, int level = MAX_LEVEL)
    {
        this->key = key;
        forward = new Node*[level];
        memset(forward, 0, level * sizeof(Node*));
    }
};

class SkipList
{
private:
    Node * header;
    int level;
private:
    int random_level();
public:
    SkipList();
    ~SkipList();
    bool insert(int key);
    bool find(int key);
    bool erase(int key);
    void print();
};

int SkipList::random_level()
{
    int level = 1;

    while ((rand() & 0xffff) < (P * 0xffff) && level < MAX_LEVEL)
        level++;

    return level;
}

SkipList::SkipList()
{
    header = new Node;
    level = 0;
}

SkipList::~SkipList()
{
    Node * cur = header;
    Node * next = nullptr;

    while (cur)
    {
        next = cur->forward[0];
        delete cur;
        cur = next;
    }

    header = nullptr;
}

bool SkipList::insert(int key)
{
    Node * node = header;
    Node * update[MAX_LEVEL];
    memset(update, 0, MAX_LEVEL * sizeof(Node*));

    for (int i = level - 1; i >= 0; i--)
    {
        while (node->forward[i] && node->forward[i]->key < key)
            node = node->forward[i];
        update[i] = node;
    }

    node = node->forward[0];

    if (node == nullptr || node->key != key)
    {
        int new_level = random_level();

        if (new_level > level)
        {
            for (int i = level; i < new_level; i++)
                update[i] = header;

            level = new_level;
        }

        Node * new_node = new Node(key, new_level);

        for (int i = 0; i < new_level; i++)
        {
            new_node->forward[i] = update[i]->forward[i];
            update[i]->forward[i] = new_node;
        }

        return true;
    }

    return false;
}

bool SkipList::find(int key)
{
    Node * node = header;

    for (int i = level - 1; i >= 0; i--)
    {
        while (node->forward[i] && node->forward[i]->key <= key)
            node = node->forward[i];

        if (node->key == key)
            return true;
    }

    return false;
}

bool SkipList::erase(int key)
{
    Node * node = header;
    Node * update[MAX_LEVEL];
    fill(update, update + MAX_LEVEL, nullptr);

    for (int i = level - 1; i >= 0; i--)
    {
        while (node->forward[i] && node->forward[i]->key < key)
            node = node->forward[i];
        update[i] = node;
    }

    node = node->forward[0];

    if (node && node->key == key)
    {
        for (int i = 0; i < level; i++)
            if (update[i]->forward[i] == node)
                update[i]->forward[i] = node->forward[i];

        delete node;

        for (int i = level - 1; i >= 0; i--)
        {
            if (header->forward[i] == nullptr)
                level--;
            else
                break;
        }
    }

    return false;
}

void SkipList::print()
{
    Node * node = nullptr;

    for (int i = 0; i < level; i++)
    {
        node = header->forward[i];
        cout << "Level " << i << " : ";
        while (node)
        {
            cout << node->key << " ";
            node = node->forward[i];
        }
        cout << endl;
    }

    cout << endl;
}

int main()
{
    SkipList sl;

    // test "insert"
    sl.insert(3);
    sl.insert(9);
    sl.insert(1); sl.insert(1);
    sl.insert(4);
    sl.insert(2); sl.insert(2);
    sl.insert(5);
    sl.insert(6);
    sl.insert(7);
    sl.insert(8);
    sl.insert(10);
    sl.insert(11);
    sl.insert(12);
    sl.print();

    // test "find"
    cout << sl.find(50) << endl;
    cout << sl.find(2) << endl;
    cout << sl.find(7) << endl << endl;

    // test "erase"
    sl.erase(1);
    sl.print();
    sl.erase(10);
    sl.print();
    sl.erase(11);
    sl.print();

    return 0;
}

运行如下(注意:结点层数采用的是随机值,故不同电脑可能会有不同的运行结果):

四:效率分析与证明

首先回顾下插入操作中随机生成层数的函数:

#define P 0.25
#define MAX_LEVEL 32

int SkipList::random_level()
{
    int level = 1;

    while ((rand() & 0xffff) < (P * 0xffff) && level < MAX_LEVEL)
        level++;

    return level;
}

下文中我们用小写的p来代替上述代码大写的常量P

1. 查找的期望时间复杂度

设 T(n) 表示 n 个结点的跳跃表中查找的期望路径长度。

它分为三部分:

  1. 第 1 层至最高层构成的跳跃表中查找的期望路径长度。此部分相当于一个期望规模为 O(pn) 的跳跃表的期望路径长度;
  2. 从第 1 层下降至第 0 层的一条指针;
  3. 在第 0 层右行的路径长度。每次能够右行的概率为 1−p。

于是:

T(n)=T(pn)+1+(1−p)+(1−p)2+(1−p)3+...=T(pn)+1/p

解函数得到:

T(n)=−logpnp=−1plog2p⋅log2n

2. 单一结点的期望层数

  • 结点层数恰好等于 1 的概率为 1−p;
  • 结点层数恰好等于 2 的概率为 p(1−p);
  • 结点层数恰好等于 3 的概率为 p2(1−p);
  • ......

那么一个结点的期望层数计算如下:

E(l)=1⋅(1−p)+2⋅p(1−p)+3⋅p2(1−p)+...=(1−p)⋅+∞∑i=1i⋅pi−1=11−p

3. 期望空间复杂度

对于一个有 n 个结点的跳跃表,其期望空间复杂度为:

S(n)=n⋅E(l)=n1−p

4. 最大层数分析

设最大层数为 h,则 h 不超过 m 的概率为:

P(h≤m)=(1−pm−1)n

当没有最高层限制的时候(即 h→+∞)才是真正的 Skip List,但是实际应用中为了程序实现简单,往往设置这样一个常数 h。根据刚才对最高层概率的分析,我们可以选取一个适当的 h。比如,对于 p=1/4,n=106 时,取 h=16 就是一个不错的选择(个人觉得,参照 BST 来,直接取 h=log2n 就可以)。此时
P(h=16)=(1−0.2515)106≈0.999069111

5. p 的综合分析

根据上述第 1 点所求的查找时间复杂度,进一步化简:

T(n)=−1p⋅log2p⋅log2n

我们只需讨论左边的表达式即可,

f(p)=−1p⋅log2p

对其求导可得以下信息:

f(p)min=f(1e)=e⋅ln2≈1.884f(12)=f(14)=2

针对 p=1e,12,14,绘制的综合分析表格如下:

p 空间复杂度 时间复杂度
1/e O(1.58n) O(1.88log2n)
1/2 O(2n) O(2log2n)
1/4 O(1.33n) O(2log2n)

从时空权衡来看,1/e 和 1/4 是比较好的选择。

Redis 使用的后者,我在 Redis 的 Pull Request 上发现有人 pull 了一条 request:Change skip list P value to 1/e, which improves search times,但最终能否被采用还是未知数。

五:参考文献

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