线性回归可以说是机器学习中最基本的问题类型了，这里就对线性回归的原理和算法做一个小结。
1. 线性回归的模型函数和损失函数
线性回归遇到的问题一般是这样的。我们有m个样本，每个样本对应于n维特征和一个结果输出，如下：
(x( 0) 1 ,x (0 ) 2 ,. ..x (0 ) n ,y 0 ), (x( 1) 1 ,x (1) 2 ,. ..x ( 1) n ,y 1 ), ... (x ( m) 1 ,x ( m) 2 ,.. .x ( m) n ,y n ) ( x ( 0) 1 ,x ( 0) 2 , .. .x ( 0) n , y 0 ) ,( x ( 1) 1 , x ( 1) 2 , . . . x ( 1 ) n , y 1 ) , . . . ( x ( m ) 1 , x ( m ) 2 , . . . x ( m ) n , y n )
我们的问题是，对于一个新的( x( x) 1 ,x (x ) 2 ,. ..x (x) n ( x ( x) 1 ,x ( x) 2 ,. ..x ( x) n , 他所对应的y x y x 是多少呢？ 如果这个问题里面的y是连续的，则是一个回归问题，否则是一个分类问题。
对于n维特征的样本数据，如果我们决定使用线性回归，那么对应的模型是这样的：
h θ (x 1 ,x 2 ,. ..x n )= θ0 +θ1 x1+...+θn xn h θ (x 1 ,x 2 ,. ..x n )= θ 0 +θ 1 x 1 +.. .+ θ n x n , 其中θ i θ i (i = 0,1,2... n)为模型参数，x i x i (i = 0,1,2... n)为每个样本的n个特征值。这个表示可以简化，我们增加一个特征x 0 = 1 x 0 = 1 ，这样h θ ( x 0 , x 1 , .. .x n ) =n ∑ i =0 θ i x i h θ ( x 0 , x 1 , . . . x n ) = ∑ i = 0 n θ i x i 。
进一步用矩阵形式表达更加简洁如下：
h θ (X )=X θ h θ (X )= Xθ
其中， 假设函数h θ (X ) h θ (X ) 为mx1的向量,θ θ 为nx1的向量，里面有n个代数法的模型参数。X X 为mxn维的矩阵。m代表样本的个数，n代表样本的特征数。
得到了模型，我们需要求出需要的损失函数，一般线性回归我们用均方误差作为损失函数。损失函数的代数法表示如下：
J( θ0,θ 1 .. .,θ n )= m ∑ i= 0 (h θ (x 0 ,x 1 ,. ..x n )− yi )2 J (θ 0 ,θ 1 .. .,θ n )= ∑ i =0 m (h θ (x 0 ,x 1 , .. .x n ) −y i ) 2
进一步用矩阵形式表达损失函数：
J( θ)= 12 (X θ −Y )T (Xθ−Y ) J (θ )= 1 2 (X θ −Y ) T (X θ −Y )
由于矩阵法表达比较的简洁，后面我们将统一采用矩阵方式表达模型函数和损失函数。
2. 线性回归的算法
对于线性回归的损失函数J(θ) =12 (Xθ−Y )T (Xθ−Y ) J (θ )= 1 2 (X θ −Y ) T (X θ −Y ) ，我们常用的有两种方法来求损失函数最小化时候的θ θ 参数：一种是梯度下降法，一种是最小二乘法。由于已经在其它篇中单独介绍了梯度下降法和最小二乘法，可以点链接到对应的文章链接去阅读。
如果采用梯度下降法，则θ θ 的迭代公式是这样的：
θ =θ− αXT(X θ −Y ) θ =θ −α X T (X θ −Y )
通过若干次迭代后，我们可以得到最终的θ θ 的结果
如果采用最小二乘法，则θ θ 的结果公式如下：
θ =(X T X) −1 XT Y θ =( X T X ) − 1 X T Y
当然线性回归，还有其他的常用算法，比如牛顿法和拟牛顿法，这里不详细描述。
3. 线性回归的推广：多项式回归
回到我们开始的线性模型，h θ (x 1 ,x 2 ,. ..x n )= θ0 +θ1 x1+...+θn xn h θ (x 1 ,x 2 ,. ..x n )= θ 0 +θ 1 x 1 +.. .+ θ n x n , 如果这里不仅仅是x的一次方，比如增加二次方，那么模型就变成了多项式回归。这里写一个只有两个特征的p次方多项式回归的模型：
h θ (x 1 ,x 2 )= θ0 +θ1 x1+θ 2 x2 +θ 3 x2 1 +θ 4 x2 2 +θ 5 x1 x2 h θ (x 1 ,x 2 )= θ 0 +θ 1 x 1 +θ 2 x 2 +θ 3 x 2 1 + θ 4 x 2 2 + θ 5 x 1 x 2
我们令x 0 =1, x1=x 1 ,x 2 =x 2 ,x 3 =x 2 1 ,x 4 =x 2 2 ,x 5 =x 1 x2 x 0 =1 ,x 1 =x 1 ,x 2 =x 2 ,x 3 = x 2 1 ,x 4 = x 2 2 , x 5 = x 1 x 2 ,这样我们就得到了下式：
h θ (x 1 ,x 2 )= θ0 +θ1 x1+θ 2 x2 +θ 3 x3+θ 4 x4+θ5 x5 h θ (x 1 ,x 2 )= θ 0 +θ 1 x 1 +θ 2 x 2 +θ 3 x 3 + θ 4 x 4 + θ 5 x 5
可以发现，我们又重新回到了线性回归，这是一个五元线性回归，可以用线性回归的方法来完成算法。对于每个二元样本特征( x1,x 2 ) ( x 1 ,x 2 ) ,我们得到一个五元样本特征( 1,x 1 ,x 2 ,x 2 1 ,x 2 2 ,x 1 x2) ( 1,x 1 ,x 2 ,x 2 1 ,x 2 2 ,x 1 x 2 ) ，通过这个改进的五元样本特征，我们重新把不是线性回归的函数变回线性回归。
4. 线性回归的推广：广义线性回归
在上一节的线性回归的推广中，我们对样本特征端做了推广，这里我们对于特征y做推广。比如我们的输出Y Y 不满足和X X 的线性关系，但是ln Y l nY 和X X 满足线性关系，模型函数如下：
ln Y=X θ l nY =X θ
这样对与每个样本的输入y，我们用 lny去对应， 从而仍然可以用线性回归的算法去处理这个问题。我们把 Iny一般化，假设这个函数是单调可微函数g (.) g (.) ,则一般化的广义线性回归形式是：
g (Y) =Xθ g (Y )=Xθ 或者 Y =g−1 (X θ ) Y =g − 1 (X θ )
这个函数g (.) g (.) 我们通常称为联系函数。
5. 线性回归的正则化
为了防止模型的过拟合，我们在建立线性模型的时候经常需要加入正则化项。一般有L1正则化和L2正则化。
线性回归的L1正则化通常称为Lasso回归，它和一般线性回归的区别是在损失函数上增加了一个L1正则化的项，L1正则化的项有一个常数系数α α 来调节损失函数的均方差项和正则化项的权重，具体Lasso回归的损失函数表达式如下：
J( θ)= 12 n (X θ −Y )T (Xθ−Y )+α|| θ|| 1 J (θ )= 1 2 n (X θ −Y ) T (X θ −Y )+ α| | θ| | 1
其中n为样本个数，α α 为常数系数，需要进行调优。| |θ| |1 | | θ| | 1 为L1范数。
Lasso回归可以使得一些特征的系数变小，甚至还是一些绝对值较小的系数直接变为0。增强模型的泛化能力。
Lasso回归的求解办法一般有坐标轴下降法（coordinate descent）和最小角回归法（ Least Angle Regression），由于它们比较复杂，在我的这篇文章单独讲述： 线程回归的正则化-Lasso回归小结
线性回归的L2正则化通常称为Ridge回归，它和一般线性回归的区别是在损失函数上增加了一个L2正则化的项，和Lasso回归的区别是Ridge回归的正则化项是L2范数，而Lasso回归的正则化项是L1范数。具体Ridge回归的损失函数表达式如下：
J( θ)= 12 (X θ −Y )T (Xθ−Y )+1 2 α| |θ|| 2 2 J (θ )= 1 2 (X θ −Y ) T (X θ −Y )+ 1 2 α| | θ| | 2 2
其中α α 为常数系数，需要进行调优。| |θ| |2 | | θ| | 2 为L2范数。
Ridge回归在不抛弃任何一个特征的情况下，缩小了回归系数，使得模型相对而言比较的稳定，但和Lasso回归比，这会使得模型的特征留的特别多，模型解释性差。
Ridge回归的求解比较简单，一般用最小二乘法。这里给出用最小二乘法的矩阵推导形式，和普通线性回归类似。
令J( θ) J (θ ) 的导数为0，得到下式：
X T (Xθ −Y)+αθ =0 X T (Xθ−Y)+α θ =0
整理即可得到最后的θ θ 的结果：
θ =(X T X+αE) −1 XTY θ =(X T X+ αE) − 1 X T Y
其中E为单位矩阵。
除了上面这两种常见的线性回归正则化，还有一些其他的线性回归正则化算法，区别主要就在于正则化项的不同，和损失函数的优化方式不同，这里就不累述了。
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