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聊聊希尔排序

前言

希尔排序是Donald Shell于1959年提出来的一种排序算法,它是第一批突破O(n^2)这个时间复杂度的算法之一。大话数据结构对这个算法的讲解,我看得一知半解的,之后网上找了下资料,发现维基百科对这个算法的讲解非常不错,特在此整理一波。

原理

希尔排序是基于插入排序的以下两点性质而提出改进方法的:

  • 插入排序在对几乎已经排好序的数据操作时,效率高,即可以达到线性排序的效率
  • 但插入排序一般来说是低效的,因为插入排序每次只能将数据移动一位

先上个维基百科的动图,不知道你们看不看得懂,反正我不是很懂……

说说我的个人理解:

希尔排序其实就是直接插入排序的升级,原理就是先将整个待排序列按照某个增量(也称步长)分割成若干个子序列分别进行直接插入排序,然后合并,之后依次缩小增量大小在进行排序,当增量足够小(通常为1)时,再对全体元素进行直接插入排序,而此时需排序的数据几乎是已排好的了,所以此时插入排序较快。

当然如果你觉得文字比较乏味就看下面的这些例子吧

例如,假设有这样一组数[9 1 5 8 3 7 4 6 2],如果我们先以步长为4进行分割,就是这样:

9 1 5 8
3 7 4 6 
2
复制代码

然后我们对每列进行排序(注意每列哦):

2 1 4 6
3 7 5 8
9
复制代码

将上述四行数字,依序合并我们得到:[ 2 1 4 6 3 7 5 8 9 ]。此时2已经往前移,而8、9已经在后两位,然后再以2为步长进行分割:

2 1
4 6
3 7
5 8
9
复制代码

继续排序:

2 1
3 6
4 7
5 8
9
复制代码

合并得到[ 2 1 3 6 4 7 5 8 9],此时序列已经基本有序,需交换数据的情况大为减少,这时整列进行直接插入排序效率就非常高。

最终完成排序过程,也就是步长为1时,得到最终序列为:1 2 3 4 5 6 7 8 9

示例代码(C)

#include <stdio.h>
#define MAXSIZE 100	//用于要排序数组的最大值 

typedef struct		//定义一个顺序表结构 
{
	int r[MAXSIZE+1];	//用于存储要排序数组,r[0]用作哨兵或者临时变量 
	int length;			//用于存储顺序表的最大长度 
}SqList;

void ShellSort(SqList *L)
{
	int i,j;
	int gap=L->length;	//获取数组长度 
	
	for(gap/=2;gap>=1;gap/=2)	//步长 
		for(i=gap+1; i<=L->length; i++)	//从第gap+1个元素开始,因为r[0]被当做临时变量 
			if(L->r[i] < L->r[i-gap])	//每个元素与自己组内的数据进行直接插入排序 
			{
				L->r[0]=L->r[i];	//把要交换的数据暂存的L->r[0]中 
				for(j=i-gap; j>0&&L->r[j] > L->r[0]; j-=gap)	
					L->r[j+gap] = L->r[j];	//记录后移,查找插入位置 
					
				L->r[j+gap]=L->r[0];	//插入 
			}
} 

int main()
{
	int i=0;
    int array[] = {39,80,76,41,13,29,50,78,30,11,100,7,41,86};
    
    SqList L;
    L.length = sizeof(array)/sizeof(array[0]);	//获取数组长度 
    for(i=0;i<L.length;i++)
    {
		L.r[i+1]=array[i];	//把数组存入顺序表结构 
	}
	ShellSort(&L);
	
	//输出排序后的数组 
	for(i=0;i<L.length;i++)	
	{
		printf("%d ",L.r[i+1]);
	}
	return 0;
}
复制代码

可能有几个步骤略难懂,这里解释下:

  • 第17行:这里的步长采用\frac {n} {2},最终判断条件为gap>=1,这里不管你数组初始长度为多少,除到最后均会等于1,而等于1时,就是执行最后一次循环,这个时候也就是所有元素进行直接插入排序。当然也可写成gap>0。

  • 第18行:在前面定义顺序表结构时,我们加多了一位,也就是把r[0]当做交换数据时的临时变量。

  • 第22~23行:对于这个循环我们直接拿上面的例子中的一列进行讲解(9 3 2)

i=5时,9和3进行了一次交换,变为(3 9 2)(位置为1 5 9),之后在i=9(此时r[0]=r[i]=2),做出的交换如上图所示(图略差...),分为三个步骤:(gap=4)

  • 第一次进入循环j=i-gap=5,r[j]=r[5]=9>r[0],执行23行得r[j+gap]=r[9]=r[j]=9,此时该列数值变为(3 9 9)
  • 继续第二次循环j=j-gap=1,r[j]=r[1]=3>r[0],同样执行循环r[j+gap]=r[5]=r[j]=3,此时变为(3 3 9)
  • 跳出循环(注意:跳出循环时多执行了一次j-=gap=-3​),执行r[j+gap]=r[-3+4]=r[1]=r[0]=2​,最终变为(2 3 9)

步长(增量)选择

步长的选取非常关键,但是步长的选择没有统一规定,也没绝对的规律。只要满足最后一个步长为1即可。Donald Shell最初建议步长选择为\frac {n} {2},虽然这样去可以比O(n^2)类的算法更好,但仍然有减少平均时间和最差时间的余地。维基百科给出的部分步长与最坏情况下复杂度有:

已知的最好步长序列是由Sedgewick提出的(1, 5, 19, 41, 109,...),该序列的项来自9\times4^i-9\times2^i+12^{i+2}\times(2^{i+2}-3)+1这两个算式。这项研究也表明“比较在希尔排序中是最主要的操作,而不是交换。”用这样步长序列的希尔排序比插入排序要快,甚至在小数组中比快速排序和堆排序(后续博客整理),但是在涉及大量数据时希尔排序还是比快速排序慢。

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