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杂篇:Android绘制函数图象及正弦函数的介绍

零、前言

这篇是为了下一篇做点铺垫,也是来复习一些数学基础
本篇属于休闲娱乐,不要太较真,小科普一下,不喜勿喷
本文知识点前4点你可以随便看看,但第5点非常重要,本文源码见捷文规范

本文知识点:
1)数学函数的概念
2)直角坐标系的下函数图形
3)极坐标下的函数图象
4)参数方程下的函数图形
5)正弦函数的详细分析(为下一篇文章做铺垫)


一、数学函数的概念:

1.高中数学必修1:
设A,B为非空的数集,如果按照某种确定的对应关系f,  
使对于集合A中的任意的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,
那么就称"f:A→B"为从集合A到集合B的一个函数,记作:
y=f(x),x∈A

其中,x叫做自变量,x的取值范围叫做函数的[定义域]
与x的值对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的[值域]
复制代码

2.大学高等数学
设数集D⊂ R,则称映射f:D→R为定义在D上的函数,通常简记为
y=f(x),x∈ D

其中x称自变量,y称因变量,D称定义域,记作Df,即Df=D.
值域:Rf=f(D)={y|y=f(x),x∈ D}
复制代码

3.映射:
设X,Y是两个非集合,如果存在一个法则f,使的对X中的每个元素x,
按法则f,在Y中有唯一确定的元素y与之对应,则称f为X到Y的映射,记作
f:X→Y

其中y称为元素x(在映射f下)的像,并记作f(x),即y=f(x)
而元素x称为元素y(在映射f下)的原像
复制代码

二、直角坐标系的下函数图形

这里只是模拟函数,然后绘制出可视的图象
数学中的实数是连续的,这里在屏幕中将像素作为基本的单元
绘图核心:点集成线,单点半径1px
自变量:x
定义域:Df用集合Set表示
函数关系:函数f(x)
点集用Map表示,x→y


0.网格与坐标系的绘制

网格和坐标系我已经封装,初始View如下:

public class MathView extends View {
    private Point mCoo = new Point(500, 700);//坐标系
    private Picture mCooPicture;//坐标系canvas元件
    private Picture mGridPicture;//网格canvas元件
    private Paint mHelpPint;//辅助画笔
    private Paint mPaint;//主画笔
    private Path mPath;//主路径
    public MathView(Context context) {
        this(context, null);
    }

    public MathView(Context context, @Nullable AttributeSet attrs) {
        super(context, attrs);
        init();//初始化
    }

    private void init() {
        //初始化主画笔
        mPaint = new Paint(Paint.ANTI_ALIAS_FLAG);
        mPaint.setColor(Color.BLUE);
        mPaint.setStrokeWidth(2);
        mPaint.setStyle(Paint.Style.STROKE);
        mPaint.setStrokeCap(Paint.Cap.ROUND);
        //初始化主路径
        mPath = new Path();

        //初始化辅助
        mHelpPint = HelpDraw.getHelpPint(Color.RED);
        mCooPicture = HelpDraw.getCoo(getContext(), mCoo);
        mGridPicture = HelpDraw.getGrid(getContext());
    }
    @Override
    protected void onDraw(Canvas canvas) {
        super.onDraw(canvas);
        HelpDraw.draw(canvas, mGridPicture, mCooPicture);
        canvas.save();
        canvas.translate(mCoo.x, mCoo.y);
        canvas.scale(1, -1);//y轴向上
        canvas.restore();
    }

复制代码

网格和坐标系准备.png

具体细节这里不说了,详见:Android关于Canvas你所知道的和不知道的一切,或源码


1.一次函数:y=x,定义域[-200,300]

y=x.png


1.1:几个成员变量
private TreeSet<Float> Df = new TreeSet<>();//定义域
private Map<Float, Float> funMap = new HashMap<>();//映射表
private Paint mTextPaint;//文字画笔
复制代码

1.2:初始化定义域
/**
 * 初始化定义域
 */
private void initDf() {
    for (float i = -200; i <= 300; i++) {
        Df.add(i);//初始化定义域
    }
}
复制代码

1.3:对应法则fx
/**
 * 对应法则
 * @param x 原像(自变量)
 * @return 像(因变量)
 */
private float f(Float x) {
    float y = x;
    return y;
}
复制代码

1.4:遍历定义域,将原像x和像f(x)加入映射表
/**
 * 遍历定义域,将原像x和像f(x)加入映射表
 */
private void map() {
    Df.forEach(x -> {
        funMap.put(x, f(x));
    });
    //添加所有点
}
复制代码

1.5:绘制映射表
/**
 * 绘制映射表
 * @param canvas 画笔
 * @param map 点集映射表
 */
private void drawMap(Canvas canvas, Map<Float, Float> map) {
    map.forEach((k, v) -> {
        canvas.drawPoint(k, v, mPaint);
    });
}
复制代码

2.绝对值函数:y=|x|,定义域[-200,300]

只需改一点

y=abs(x).png

/**
 * 对应法则
 * @param x 原像(自变量)
 * @return 像(因变量)
 */
private float f(Float x) {
    float y=Math.abs(x);
    return y;
}
复制代码

3.二次函数,定义域[-200,300]

二次函数.png

/**
 * 对应法则
 * @param x 原像(自变量)
 * @return 像(因变量)
 */
private float f(Float x) {
    float y=(x - 100) * (x - 100) / 200 + 100;
    return y;
}
复制代码

4.对数函数:log10(x)为例,定义域[1,1000]

log10.png

/**
 * 初始化定义域
 */
private void initDf() {
    for (float i = 1; i <= 1000; i++) {
        Df.add(i);//初始化定义域
    }
}

/**
 * 对应法则
 *
 * @param x 原像(自变量)
 * @return 像(因变量)
 */
private float f(Float x) {
    float y = (float) (100.f * Math.log10(x));
    return y;
}
复制代码

5.指数函数:定义域[-400,500]

指数函数.png

/**
 * 初始化定义域
 */
private void initDf() {
    for (float i = -400; i <= 500; i++) {
        Df.add(i);//初始化定义域
    }
}

/**
 * 对应法则
 *
 * @param x 原像(自变量)
 * @return 像(因变量)
 */
private float f(Float x) {
    float y= 100*(float) Math.pow(Math.E,x/300f);
    return y;
}
复制代码

6.正弦函数:定义域[-360°,450°]

正弦函数.png

/**
 * 初始化定义域
 */
private void initDf() {
    for (float i =-360; i <= 450; i++) {
        Df.add(i);//初始化定义域
    }
}

/**
 * 对应法则
 *
 * @param x 原像(自变量)
 * @return 像(因变量)
 */
private float f(Float x) {
    float y= (float) (100*Math.sin(Math.PI/180*x));
    return y;
}
复制代码

经历过上面几个函数的绘制,不难发现,只有更改对应法则,即函数关系式就可以了


三、极坐标下的函数图象

1).寻找角度thta和长度p的函数关系
2).使用极坐标与直角坐标系的转换关系来绘制点集


1.笛卡尔心型线:ρ= 100*(1-cosθ)

极坐标方程--笛卡尔心型线.png

/**
 * 初始化定义域
 */
private void initDf() {
    for (float i = 1; i <= 360; i++) {
        Df.add(i);//初始化定义域
    }
}

/**
 * 绘制映射表
 *
 * @param canvas 画笔
 * @param map    点集映射表
 */
private void drawMap(Canvas canvas, Map<Float, Float> map) {
    map.forEach((thta, p) -> {
        Log.e(TAG, "drawMap: "+p+thta);
        canvas.drawPoint((float) (p * Math.cos(thta)), (float) (p * Math.sin(thta)), mPaint);
    });
}

/**
 * 对应法则
 *
 * @param thta 原像(自变量)
 * @return 像(因变量)
 */
private float f(Float thta) {
    float p = (float) (100 * (1 - Math.cos(thta)));
    return p;
}

/**
 * 遍历定义域,将原像x和像f(x)加入映射表
 */
private void map() {
    Df.forEach(x -> {
        float thta = (float) (Math.PI / 180 * x);
        funMap.put(thta, f(thta));
    });
    //添加所有点
}
复制代码

2.四叶草:ρ= 100*(1-4*sinθ)

极坐标方程--四叶草.png

/**
 * 对应法则
 *
 * @param thta 原像(自变量)
 * @return 像(因变量)
 */
private float f(Float thta) {
    float p = (float) (100 * (1 - Math.sin(4 * thta)));
    return p;
}
复制代码

3.画着玩:ρ=(e^(cosθ)- 2cos(4θ) + [sin(θ/12)]^5)*100

极坐标方程--画着玩.png

/**
 * 对应法则
 *
 * @param thta 原像(自变量)
 * @return 像(因变量)
 */
private float f(Float thta) {
    float p = (float) (100f*(Math.pow(Math.E,Math.cos(thta)) - 2 * Math.cos(4 * thta) + Math.pow(Math.sin(thta / 12), 5)));;
    return p;
}
复制代码

4.涡旋线:ρ= a*θ

涡旋线.png

/**
 * 对应法则
 *
 * @param thta 原像(自变量)
 * @return 像(因变量)
 */
private float f(Float thta) {
    float p = 30*thta;
    return p;
}
复制代码

5.极坐标下的圆

极坐标下的圆.png

/**
 * 对应法则
 *
 * @param thta 原像(自变量)
 * @return 像(因变量)
 */
private float f(Float thta) {
    float p = 200;
    return p;
}

复制代码

四、参数方程下的函数图象

1.双曲线:x=a/cosα,y=btanα

参数方程模拟双曲线.png

    /**
     * 初始化定义域
     */
    private void initDf() {
        for (float i = 0; i <= 360 ; i++) {
            Df.add(i);//初始化定义域
        }
    }

    /**
     * 绘制映射表
     *
     * @param canvas 画笔
     * @param map    点集映射表
     */
    private void drawMap(Canvas canvas, Map<Float, Float> map) {
        map.forEach((k, v) -> {
            canvas.drawPoint(k, v, mPaint);
        });
    }

    /**
     * 对应法则
     *
     * @param thta 原像(自变量)
     * @return y像(因变量)
     */
    private float y(Float thta) {
        float y = (float) (100 * Math.tan(thta));
        return y;
    }

    /**
     * 对应法则
     *
     * @param thta 原像(自变量)
     * @return x像(因变量)
     */
    private float x(Float thta) {
        float x = (float) (200 / Math.cos(thta));
        return x;
    }

    /**
     * 遍历定义域,将原像x和像f(x)加入映射表
     */
    private void map() {
        Df.forEach(x -> {
            float thta = (float) (Math.PI / 180 * x);
            funMap.put(x(thta), y(thta));
        });
        //添加所有点
    }
复制代码

2.椭圆:x=a*cosα,y=bsinα

椭圆.png

/**
 * 对应法则
 *
 * @param thta 原像(自变量)
 * @return y像(因变量)
 */
private float y(Float thta) {
    float y = (float) (300 * Math.sin(thta));
    return y;
}
/**
 * 对应法则
 *
 * @param thta 原像(自变量)
 * @return x像(因变量)
 */
private float x(Float thta) {
    float x = (float) (400 * Math.cos(thta));
    return x;
}
复制代码

3.参数方程:双钮线x=a√(cos2θ )cosθ,y=a√(cos2θ)sinθ

双钮线.png

/**
 * 对应法则:y=a√(cos2θ)sinθ
 *
 * @param thta 原像(自变量)
 * @return y像(因变量)
 */
private float y(Float thta) {
    float y = (float) (200 * Math.sqrt(Math.cos(2*thta))*Math.sin(thta));
    return y;
}

/**
 * 对应法则:x=a√(cos2θ )cosθ
 *
 * @param thta 原像(自变量)
 * @return x像(因变量)
 */
private float x(Float thta) {
    float x = (float) (200 * Math.sqrt(Math.cos(2*thta))*Math.cos(thta));
    return x;
}
复制代码

五、分析与优化

1.分析

你可能已经吐槽了:什么鬼,怎么后面都是断断续续的点拼成的
等等...先别急,我们来看看这幅图能说明什么?
先看一下定义域: [-360,450],共810个点,每个点半径1px,每个点横向距离1px
点密集则说明相邻两点间的dy很小,相反,稀疏则说明相邻两点间的dy很大
也就是密集说明函数变化的幅度小,稀疏说明函数变化的幅度大
当相邻两点距离大于圆的直径(2px)时,视觉上会看出两个点,即不连续。

断续的点问题.png


2.分析总结

为了方便描述,这里定义了几个概念

如果把一条完美的函数曲线看作P,
那所有现实中(纸、屏幕)的函数图象P'都是对P的取点模拟,
从P上取点的行为称为[取样],
采样的个数称为[取样总数],
取样的相邻两点xn,xn+1间的距离称为[取样距离dxn]
当每个dxn值都相等的时,称为[等距采样]
两个样本点pn,pn+1之间的距离称为[样本距离dpn]
复制代码

3.看一下连续的点有哪些

在加入点集时过滤掉相邻两点间距离大于直径的点

/**
 * 两点间的距离
 * @return
 */
private float dis(float x0, float y0, float x1, float y1) {
    return (float) Math.sqrt((x0 - x1) * (x0 - x1) + (y0 - y1) * (y0 - y1));
}
复制代码
/**
 * 遍历定义域,将原像x和像f(x)加入映射表
 */
private void map() {
    Df.forEach(x -> {
        float dis = dis(x, f(x), x + 1, f(x + 1));//每相邻两点间距离
        if (dis < mLineWidth && dis > mLineWidth / 2) {
            funMap.put(x, f(x));
        }
    });
复制代码

连续点.png


4.不行连续的点处理思路:

思路也就是在间距处再取样

处理

/**
 * 遍历定义域,将原像x和像f(x)加入映射表
 */
private void map() {
    Df.forEach(x -> {
        float dis = dis(x, f(x), x + 1, f(x + 1));//每相邻两点间距离
        if (dis < mLineWidth && dis > mLineWidth / 2) {
            funMap.put(x, f(x));
        } else if (dis > mLineWidth) {
            float num = dis / mLineWidth;//在切割数
            for (float di = 0; di <= num; di += (1.f / num)) {
                x += di;
                funMap.put(x, f(x));
            }
        }
    });
    //添加所有点
}
复制代码

优化后.png


六、正弦函数的详细分析

1.正弦函数简介

正弦函数表达式.png

其中A,ω,φ,k是常数,且ω≠0
振幅:A
角频率:ω
周期:T=2π/ω 
频率:f=1/T=ω/2π
相位:ωx+φ
初相:φ
平衡线:y=k
波峰:最大值|A|
波谷:最小值-|A|
复制代码

2.振幅A:离开平衡位置的最大距离

下面横轴的每格代表90°,化为弧度制表示即:π/2,每四格是360°,即2π

2.1:A=300

A=300.png


2.2:A=100

A=100.png


2.3:振幅的作用
决定正弦曲线的波峰与波谷,形象来说就是"高矮" 
振幅越大,波峰越高,波谷越低,每个周期的图象显得"高"
复制代码

3.角频率ω:单位时间内变化的相角弧度值
3.1:ω=2

ω=2.png


3.2:ω=5

ω=5.png


3.3:角频率的作用
决定正弦曲线的周期,形象来说就是"胖瘦" 
角频率越大,周期越小,每个周期的图象显得"瘦"

ω=2 周期:T = 2π/ω = π 从图中看,每两格一周期,即π 
频率:f = 1/T = 1/π
复制代码

4.初相φ:x=0时的相位
4.1:φ=π/6

φ=π/6


4.2:φ=π/2

φ=π/2


4.3:振幅的作用
相位决定了标准正弦函数的左右偏移:正左偏,负右偏,偏移量:φ/ω
复制代码

5.平衡值k:决定平衡线的位置
5.1:k=100

k=100.png


5.2:k=200

k=200.png

5.3:平衡值的作用
平衡值决定标准正弦函数的上下偏移:正上偏,负下偏,偏移量:k
复制代码

现在对于几个正弦函数的参数值已经有了一点了解,本篇结束


附录:一些常用符号:
θ ρ φ
π α β γ
η μ ζ Ω

后记:捷文规范

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