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二进制的原码、反码和补码

本文内容约 1600 字,本文最先在公众号:善始者實繁克終者蓋寡 中发出。

目录

  • 反码
  • 补码
    • 重新回来
    • 如何得到补码?
    • 补码转为十进制
    • 补码系统的数字表示方式
    • 补码系统的用处
    • 补码的原理
  • 参考内容

重新回来

目前是一名在校的大一学生,有时想写些内容出来,但苦于脑子里没东西。提笔又落笔,迟迟没有内容产出。想起之前我还在这个公众号里立下说:每天一篇文章。诶,又抬头看了看这个公众号的名字,诶。

接下来,打算重拾公众号,尝试输出内容。另外,公众号的介绍也修改了:

前端初学者、设计门外人,一切才刚刚开始…

经过一段时间的思考和了解后,我把自己定位为**「全栈偏前端软件工程师」**,但是毕竟这条路没有走过,具体能走到哪一步,未来具体如何不是很清晰。不过现在先踏踏实实从前端入手,一点点搭建自己的神经网络。

本篇内容讲一讲计算机的一些基础:

反码

简单说:

  • 正数的反码等于其原码。
  • 负数的反码,是保留其符号位后,其余各位原码的数值取反的结果,也就是 0 变为 1,1 变为 0。

补码

在计算机系统中,数值一律使用补码来表示和存储。

1、如何得到补码?

简单说就是把原二进制码,先按位取反(0 变 1,1 变 0)后,再加 1。

下面用「有符号 4 位二进制」来举个例子:

二进制到补码.png

最后的结果可以看到,这个数字的最高位为 1,确实是负数。一个正数的补码也就是相对应的负数。要是我们反过来运算:

补码到二进制.png

也就是一个负数的补码就是其对应的正数

补码转为二进制原码,也可以先减 1,再取反。

简单总结为:a 的补码就是 -a (a 可以是正负数)

不过有两个数的补码等于本身:一个是 0,另一个是该「有符号位的二进制」所能表示的最大负数(100……)

2、补码转为十进制

直接举例说明:

补码转十进制.png

补码转十进制的规则,也就是除了「最高位」外,「其他位」对应数字的处理和一般二进制相同。如果「最高位」为 1,那么它表示的数字为 -2^(n−1),n 代表位数,最终将各个结果相加就是十进制数了。

3、补码系统的数字表示方式

上面举例介绍了如何得到补码。现在来说说「补码系统」中的数字是如何表示的:

  • 正数0:补码数字与二进制一样,同时最高位的为 0。
    • 所以 4 位的最大补码正数为 0111(7)
  • 负数:得到补码的步骤上文提过了,这个数字的最高位为 1。
    • 所以 4 位的最小补码负数为 1000(-8)

那么补码数字所能表达的数字范围为:

最大最小.png

比如 8 位的补码数字,可以表示范围为:-128~127。

为什么最大值要减去一个 1?有符号位的 n 位二进制可以用来表示两组数,一组是大于等于 0,另一组小于 0。

因为 0 的存在,所以需要减去一个 1。

4、补码系统的用处

不是说计算机是用二进制的吗?干嘛要搞一个「补码系统」?

补码系统的最大优点是可以在处理加减乘除法只用一种加法电路

我们先来试试用反码来计算减法:

反码减法.png

答案正确啊。那我们继续看看反码特殊情况

反码减法二.png

这就出现问题了,出现了 -0 这种情况。虽说 -0 和 +0 应该都是 0。但是 0 带着符号是没有任何意义。

解决这个问题,就需要补码了:

补码减法.png

正好可以计算出 -1 这个答案。

这里没有演示原码的减法,你不如动手去试试。

5、补码的原理

维基百科中是这样说的:

指定 n 位长,那么就有 2^n 个可能的值,加减法运算都存在上溢出下溢出的情况,实际上都等价于**「模 2^n」**的加减法运算。这对于 n 比特无符号整数类型或是 n 比特有符号整数类型都同样适用。

嗯。

看了一堆写原理资料,还是没怎么搞懂,总之原理和余数的思想有关。

所以我现在所处的阶段是:知其然,「知其所以然」得还不怎么透彻。

但是我还是要讲一讲。

看了阮一峰的网络日志《关于2的补码》这一篇文章后,觉得文章中的解释还是十分清晰的。那我就用几张图来说明一下。在一个 4 位的二进制中,进行 5 - 6 的运算,我们可以把 5 - 6 转化为 5 + (-6)

5 + (-6).png

我们已经分别知道 5 和 6 的原码,要得到 -6 我们可以用 0 - 6 得到 -6 的二进制码:

0-6.png

但是 0 根本不够减啊。那我们想想,在做十进制减法的时候,要是这一位不够减,怎么办,答案是问上一位借一个 1。那 0000 去借一位 变为 1 0000

1000-0110.png

我们又注意到,1 0000 其实是可以用 1111+ 1 来表示的,那把算式变为:

补码原理最后一步.png

第一步操作就相当于是按位取反,第二步再 +1,这个过程和得到反码的步骤完全一致。

参考内容

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