看图轻松理解斐波那契数列

前言

推出一个新系列，《看图轻松理解数据结构和算法》，主要使用图片来描述常见的数据结构和算法，轻松阅读并理解掌握。本系列包括各种堆、各种队列、各种列表、各种树、各种图、各种排序等等几十篇的样子。

斐波那契

斐波那契(Leonardo Pisano ,Fibonacci, Leonardo Bigollo，1175年-1250年)，又称列奥纳多，是中世纪意大利数学家。他是西方第一个研究斐波那契数列的人，并将现代书写数和乘数的位值表示法系统引入欧洲。主要作品包括《计算之书》、《几何实践》、《平方数书》等。

斐波那契数列

斐波那契数列，又称黄金分割数列或兔子数列，该数列为0、1、1、2、3、5、8、13、21、34、...，可以看到它的性质是前两项之和等于后一项。

兔子问题

斐波那契数列可以用来描述兔子繁殖问题，一般而言，兔子在出生两个月后就有繁殖能力，一对兔子每个月能生出一对小兔子。如果所有兔子都不死，那么一年后可以繁殖多少对兔子？实际结果如下，第一个月和第二个月，兔子还没有繁殖能力，所以都只有1对。第三个月生下第一对，总共有2对。第四个月老兔子继续生下一对，另一对还没有繁殖能力，总共有3对。以此类推，第五个月到第十二个月的兔子对数对应如下。


月数	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
对数	1	1	2	3	5	8	13	21	34	55	89	144

表达式

f(x) = \left\{\begin{matrix}
0,& &x=0 \\
1,& &x=1 \\
f(x-1)+f(x-2),& &x>=2,x \in N^*
\end{matrix}\right.

递归实现

int fib(int n){
    if (n == 0)
       return 0;
    if (n == 1)
       return 1;
    return fib(n - 1) + fib(n - 2);
}

假如n=4时，看看递归过程的堆栈情况。

① 调用fib函数，传入参数值4。

② fib(4)=fib(3)+fib(2)，需要继续调用fib(3)，而fib(2)先不进入执行堆栈。

③ fib(3)=fib(2)+fib(1)，需要继续调用fib(2)，fib(1)先不进入执行堆栈。

④ fib(2)=fib(1)+fib(0)，需要继续调用fib(1)，fib(0)先不进入执行堆栈。

⑤ fib(1)返回1，停止往下调用，然后上一步的fib(0)进入堆栈。

fib(0)返回0，则 ④ 中的fib(2)=fib(1)+fib(0)=1

然后，堆栈回到③中，因为fib(3)=fib(2)+fib(1)，所以将fib(1)入栈。

fib(1)返回1，则 ③ 中的fib(3)=fib(2)+fib(1)=1+1=2。

然后，堆栈回到 ② 中，因为fib(4)=fib(3)+fib(2)，所以将fib(2)入栈。而fib(2)=fib(1)+fib(0)，于是将fib(1)入栈。此时fib(1)直接返回1，然后继续将fib(0)入栈。则fib(2)=fib(1)+fib(0)=1，最后fib(4)=fib(3)+fib(2)=3。