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《数据结构与算法之美》学习笔记之复杂度

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复杂度分析是整个算法学习的精髓,只要掌握了它,数据结构与算法的内容基本上就掌握了一半

什么是复杂度分析

数据结构和算法解决是如何让计算机更快时间、更省空间的解决问题,因此需从执行时间和占用空间两个维度来评估数据结构和算法的性能。

复杂度描述的是算法执行时间或占用空间与数据规模的增长关系。

如何进行复杂度分析

大 O 表示法

来源

算法的执行时间与每行代码的执行次数成正比,用 T(n) = O(f(n)) 表示。其中 T(n) 表示算法执行总时间,f(n) 表示每行代码执行总次数,而 n 往往表示数据的规模

特点

以时间复杂度为例,由于时间复杂度描述的是算法执行时间与数据规模的增长变化趋势,所以常量阶、低阶以及系数实际上对这种增长趋势不产生决定性影响,故在做时间复杂度分析时忽略这些项。

复杂度分析法则

只关注循环执行次数最多的一段代码

在分析一个算法、一段代码的时间复杂度的时候,也只关注循环执行次数最多的那一段代码就可以了

加法法则:总复杂度等于量级最大的那段代码的复杂度

如果 T1(n)=O(f(n)), T2(n)=O(g(n));

那么 T(n) = T1(n) + T2(n) = max(O(f(n)), O(g(n))) = O(max(f(n), g(n)))

乘法法则:嵌套代码的复杂度等于嵌套内外代码复杂度的乘积

可以把乘法法则看成是嵌套循环:

如果 T1(n) = O(f(n)), T2(n) = O(g(n))

那么 T(n) = T1(n) * T2(n) = O(f(n)) * O(g(n)) = O(f(n) * g(n))

总结
  1. 单段代码看高频:比如循环
  2. 多段代码取最大:比如一段代码中有单循环和多重循环,那么取多重循环的复杂度
  3. 嵌套代码求乘机:比如递归、多重循环等
  4. 多个规模求加法:比如方法有两个参数控制两个循环的次数,那么这时就取二者复杂度相加

常用复杂度级别

  1. 多项式阶:随着数据规模的增长,算法的执行时间和空间占用,按照多项式的比例增长。包括, O(1)(常数阶)、O(logn)(对数阶)、O(n)(线性阶)、O(nlogn)(线性对数阶)、O(n^2)(平方阶)、O(n^3)(立方阶)

  2. 非多项式阶:随着数据规模的增长,算法的执行时间和空间占用暴增,这类算法性能极差。包括, O(2^n)(指数阶)、O(n!)(阶乘阶)

最坏、最好、平均及均摊时间复杂度

最好时间复杂度

代码在最理想的情况下执行的时间复杂度

最坏时间复杂度

代码在最坏情况下执行的时间复杂度

平均时间复杂度

用代码在所有情况下执行的次数加权平均值表示

均摊时间复杂度

在代码执行的所有复杂度情况中绝大部分是低级别的复杂度,个别情况是高级别复杂度且发生具有时序关系时,可以将个别高级别复杂度均摊到低级别复杂度上。基本上均摊结果就等于低级别复杂度

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