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改进,从一个数组中找出 N 个数,其和为 M 的所有可能

特此说明,本文算法改自于《从一个数组中找出 N 个数,其和为 M 的所有可能--最 nice 的解法》一文。本文不同的是,采用二进制正序表示法,这种实现思路更直观、更简单些。

问题

从一个数组中找出 N 个数,其和为 M 的所有可能。

举个例子,从数组 [1, 2, 3, 4] 中选取 2 个元素,求和为 5 的所有可能。答案是两组组合: 1,4 和 2,3。

假设封装函数为 search

function search(arr, count, sum) {
    ...
    return res
}
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则有,

search([1,2,3,4],2,5)
// => [[2,3],[1,4]]
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实现思路

这里我们简单说一下总体思路:根据数组长度构建二进制数据,再选择其中满足条件的数据。

我们用 1 和 0 来表示数组中某位元素是否被选中。因此,可以用 0110 来表示数组中第 1 位和第 2 位被选中了。

下面列一下长度为 4 的所有二进制数据表示情况:

  • 0000 表示没有选择数组中的任何元素
  • 0001 表示选择了数组中第 3 位元素
  • 0010 表示选择了数组中第 2 位元素
  • 0011 表示选择了数组中第 2、3位元素
  • 0100 表示选择了数组中第 1 位元素
  • 0101 表示选择了数组中第 1、3 位元素
  • 0110 表示选择了数组中第 1、2 位元素
  • 0111 表示选择了数组中第 1、2、3 位元素
  • 1000 表示选择了数组中第 0 位元素
  • 1001 表示选择了数组中第 0、3 位元素
  • 1010 表示选择了数组中第 0、2 位元素
  • 1011 表示选择了数组中第 0、2、3 位元素
  • 1110 表示选择了数组中第 0、1、2 位元素
  • 1111 表示选择了数组中所有位元素

那么开篇的例子, 4 选 2,满足条件的二进制有 0011、0101、0110、1001、1010、1100 共 6 种可能。而符合对应元素之和为 5 的只有 0110 和 1001。

看到了吗,思路是我们构建了所有长度为 4 的二进制,再找到符合条件的二进制。

这里条件有两个。

  • 其一是,被选中的个数是 2。
  • 其二是,被选中的和是 5。

我们的算法思路逐渐清晰起来: 遍历所有二进制,判断选中个数是否为 2,然后再求对应的元素之和,看其是否为 5。

第一个问题,如何遍历所有二进制数据呢?

这个难不到我们,数组长度为 4,那么所有二进制数据是 0 - 15。

for (var i = 0; i < 16; i++) {
  ...
}
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数组长度 4,对应16,即 1 << 4。

注意 1 << 31 为-2147483648,可以使用Math.pow(2, 31)来代替

第二个问题,如何求取被选中的元素个数呢?即求取二进制字符串中 1 的个数呢?

实现方式有多种,比如其中一种是:

function n(i) {
  var count = 0;
  while( i ) {
   if(i & 1){
    ++count;
   }
   i >>= 1;
  }
  return count;
}
console.log(n(0b1010))
// => 2
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上述算法的思路其实很简单,将二进制逐步右移 1 位,看看末尾为 1 的个数。比如 10 的二进制是 1010,逐步右移的所有可能是 1010->101->10->1->0,其中有 2 次末尾是 1。因此结果是 2。

第三个问题,如何根据二进制数据来求和呢?

比如 0110,我们应该求和 arr[1] + arr[2]。

问题转化成了如何判断数组下标是否在 0110 中呢?

其实也很简单,比如下标 1 在,而下标 3 不在。我们把 1 转化成 0100,0110 & 0100 为 0100, 大于 0,因此下标 1 在。而 0110 & 0001 为 0,因此 下标 3 不在。

所以求和我们可以如下实现:

var arr = [1,2,3,4]
var s = 0, temp = [];
for (var i = 0, len = arr.length; i < len; i++) {
  if ( 0b0110 & 1 << (len - 1 - i)) {
	s += arr[i]
	temp.push(arr[i])
  }
}
console.log(temp)
// => [2,3]
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最终实现

有了以上铺垫,这里给出最终实现:

function search(arr, count, sum) {
  var len = arr.length, res = [];
  for (var i = 0; i < Math.pow(2, len); i++) {
	if (n(i) == count) {
	  var s = 0, temp = [];
	  for (var j = 0; j < len; j++) {
		if (i & 1 << (len - 1 -j)) {
		  s += arr[j]
		  temp.push(arr[j])
		}
	  }
	  if (s == sum) {
		res.push(temp)
	  }
	}
  }
  return res;
}

function n(i) {
  var count = 0;
  while( i ) {
   if(i & 1){
    ++count;
   }
   i >>= 1;
  }
  return count;
}

console.log(search([1,2,3,4],2,5))
// => [[2,3],[1,4]]
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最后,可以看出其实没必要引入各种概念就可以把本算法说清楚。

本文完。

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