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计算机图形学之矩阵变换

重点是理解矩阵的含义:矩阵其实是一种坐标系的转换

理解矩阵的几何功能:

  1. 矩阵是一种线性变换(线段变换后仍是线段,并且原点不会改变)
  2. 矩阵是一种映射,映射可以是一对一,也可以是一对多
  3. 矩阵是一种空间变换,每一种矩阵都是有本身的几何意义,而不是单纯的数字组合

理解矩阵的形式含义(矩阵在左,向量在右):

  1. 方阵满秩,是进行当前空间的坐标变换,不会进行维度的升高和降低
  2. M×N(M>N),这种矩阵是一种升维矩阵,几何意义如3×2,就如同把一个平面进行一个方向维度的延展(当秩为2时),变成一个三维的空间,当然之前空间中的点(x,y)在提升维度的过程中在三维空间中还是一个平面分布,只是多了一个值全相等的第三个维度的值而已
  3. M×N(M<N),这是一种降维矩阵,几何意义如2×3(当秩为2时),是把三维的向量进行一个维度的压缩,挤压成一个平面,这个时候当然会出现很多个点压缩到一个二维坐标的情况
  4. 方阵不满秩,其实和之前是一样的,不满秩就说明这个维度是虚的,没什么用,如果秩是一的话就是挤压成一条线。

一.平移矩阵

1.1二维平移矩阵

形式:平移矩阵的形式是什么样的呢。

一定是一个满秩的矩阵,因为我们并不会进行维度的变换。 坐标轴的方向和长度是不变的,因为矩阵运算的本质是改变的参考系的X,Y。
寻找矩阵:

那么什么样的矩阵能够使得一个点进行平移操作呢,因为平移操作并不会改变参考系XY的方向和单位向量的长度,所以实际上,在当前的维度中,我们并不可能做到,为什么呢?因为我们之前说过,矩阵的线性变换并不会改变原点的位置,矩阵是默认原点就是(0,0),在矩阵中填充任何的值都没办法改变这个约定熟成的决定。那么怎么做到呢,我们利用更高一维的矩阵,也就是三维矩阵进行操作,其实就是在更高的维度当中,解决我们的原点平移问题。

在这里,需要说明的是,如果我们使用的是左矩阵右向量的形式,那么构成我们全新的坐标系的向量应当是矩阵中的列。我们在增加了一个新的维度,(dx,dy,1),dx,dy就是我们要平移的数量,而增加一个1,是因为要保持秩是3,毕竟我们是从更高一层的维度来转移我们的坐标原点的。

从几何意义来说,平移矩阵其实就是增加一个并不正交的Z轴(dx,dy,1)来进行一个坐标轴的重新定义,继而将坐标转换位置。

这里需要注意的是,点V=(x,y,1),并不是再是我们二维坐标上的点,而是以P的列向量为基所构成的三维空间上的点,只是说我们把二维的点变为V=(x,y,1)然后经过对应矩阵P的线性变换,最终得到平移点的位置。

这个过程可能有些难以理解,但是又是那么的巧妙和精确。我们所构造的矩阵P,是通过新空间中基的列向量来构成的,其中的列向量中每一个坐标值对应的数值,其实都是以我们原有的基x=(1,0),y=(0,1)来决定的。P这个矩阵,是一种线性的变换,是把用它坐标系中表示的点的位置坐标,来映射到原先我们确定它的时用的基的空间里。

这其实就是一种投影运算,对V的每个坐标值进行投影。

而p的逆矩阵,其实就是把我们的坐标映射到P的坐标中的运算。

1.2三维平移矩阵

当我们理解了二维的平移矩阵,那么,其实三维的矩阵也是一样的原理

二.旋转矩阵

旋转矩阵的基础含义就是绕原点的旋转。

2.1二维旋转矩阵

形式:旋转矩阵的形式是什么样的呢。

一定是满秩的,因为没有进行维度变换 坐标轴的长度应该是不变的,因为没有进行放缩操作,但是角度应该是要变的。
寻找矩阵:

假设我们有点v=(x,y),坐标轴是标准的坐标轴,角度是为,是与x轴正方向的夹角。

首先,我们已经知道了一些知识,那就是寻找新的坐标轴的基,且基的长度仍是1.那么

这就是我们所需要的旋转矩阵

2.2三维旋转矩阵

对于三维来说是差不多的,不过因为旋转轴的不同,旋转矩阵的形状也是不同的

可以结构成这么一段话,对于标准坐标系而言,要将一个点V移动到V1(在这里V和V1的表示都是标准坐标系下的),那么用新基构成的矩阵P变换V,得到V1。这是因为,V在标准坐标系中的坐标和V1在P的坐标系下的坐标是一样的。

所以,矩阵变换的并不是V,而是V1。因为P的作用是把本身的坐标里的点变成标准坐标系的点的坐标,所以变换的其实不是标准坐标系里的V,而是自身的V1,因为他们两者的值是相同的,会有很强的误导性,但是并不是说他们空间中的绝对位置是相同的。仅仅因为参考系的变换,导致了他们的值相同。

三.放缩矩阵

放缩矩阵其实就很简单,图形的放缩其实就是我们本身的坐标轴的基的放缩

四.投影矩阵

将点v,投影到一个平面A,投影方向是B的法向量n。

形式:正交投影矩阵的形式是什么样的呢。

应该是高维矩阵,因为其中包含平移操作 应该是一个不满秩的矩阵,毕竟我们的坐标都放到了一个面上 因为是正交投影,所以我们压缩的,其实就是沿着B法向量上的点 寻找矩阵:我们设V=(vx,vy,vz),A有一点a=(ax,ay,az),面的法向量N=(Nx,Ny,Nz)

  1. 首先确立平面上的坐标系,通过点A,和法向量N建立坐标系(X*,Y*,Z*).
  2. 其中Z是法向量N的方向,转向是没有关系的。
  3. 如果这么就完了并不能完成平移操作,仅仅完成的是坐标系方向的转向,位置上还需要平移
  4. 所以需要原点到平面的距离矢量L
  5. 建立最后的投影矩阵 注意:我们这里所需要的,是应该求逆矩阵,当我们所需要的是投影坐标表示而不是在原先坐标系表示的时候
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