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【算法技巧】位运算装逼指南

位算法的效率有多快我就不说,不信你可以去用 10 亿个数据模拟一下,今天给大家讲一讲位运算的一些经典例子。不过,最重要的不是看懂了这些例子就好,而是要在以后多去运用位运算这些技巧,当然,采用位运算,也是可以装逼的,不信,你往下看。我会从最简单的讲起,一道比一道难度递增,不过居然是讲技巧,那么也不会太难,相信你分分钟看懂。

判断奇偶数

判断一个数是基于还是偶数,相信很多人都做过,一般的做法的代码如下

if( n % 2) == 01
    // n 是个奇数
}
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如果把 n 以二进制的形式展示的话,其实我们只需要判断最后一个二进制位是 1 还是 0 就行了,如果是 1 的话,代表是奇数,如果是 0 则代表是偶数,所以采用位运算的方式的话,代码如下:

if(n & 1 == 1){
    // n 是个奇数。
}
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有人可能会说,我们写成 n % 2 的形式,编译器也会自动帮我们优化成位运算啊,这个确实,有些编译器确实会自动帮我们优化。但是,我们自己能够采用位运算的形式写出来,当然更好了。别人看到你的代码,我靠,牛逼啊。无形中还能装下逼,是不是。当然,时间效率也快很多,不信你去测试测试。

2、交换两个数

交换两个数相信很多人天天写过,我也相信你每次都会使用一个额外来变量来辅助交换,例如,我们要交换 x 与 y 值,传统代码如下:

int tmp = x;
x = y;
y = tmp;
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这样写有问题吗?没问题,通俗易懂,万一哪天有人要为难你,**不允许你使用额外的辅助变量来完成交换呢?**你还别说,有人面试确实被问过,这个时候,位运算大法就来了。代码如下:

x = x ^ y   // (1)
y = x ^ y   // (2)
x = x ^ y   // (3)
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我靠,牛逼!三个都是 x ^ y,就莫名交换成功了。在此我解释下吧,我们知道,两个相同的数异或之后结果会等于 0,即 n ^ n = 0。并且任何数与 0 异或等于它本身,即 n ^ 0 = n。所以,解释如下:

把(1)中的 x 带入 (2)中的 x,有

y = x^y = (x^y)^y = x^(y^y) = x^0 = x。 x 的值成功赋给了 y。

对于(3),推导如下:

x = x^y = (x^y)^x = (x^x)^y = 0^y = y。

这里解释一下,异或运算支持运算的交换律和结合律哦。

以后你要是别人看不懂你的代码,逼格装高点,就可以在代码里面采用这样的公式来交换两个变量的值了,被打了不要找我。

讲这个呢,是想告诉你位运算的强大,让你以后能够更多着去利用位运算去解决一些问题,一时之间学不会也没事,看多了就学会了,不信?继续往下看,下面的这几道题,也是非常常见的,可能你之前也都做过。

3、找出没有重复的数

给你一组整型数据,这些数据中,其中有一个数只出现了一次,其他的数都出现了两次,让你来找出一个数 。

这道题可能很多人会用一个哈希表来存储,每次存储的时候,记录 某个数出现的次数,最后再遍历哈希表,看看哪个数只出现了一次。这种方法的时间复杂度为 O(n),空间复杂度也为 O(n)了。

然而我想告诉你的是,采用位运算来做,绝对高逼格!

我们刚才说过,两个相同的数异或的结果是 0,一个数和 0 异或的结果是它本身,所以我们把这一组整型全部异或一下,例如这组数据是:1, 2, 3, 4, 5, 1, 2, 3, 4。其中 5 只出现了一次,其他都出现了两次,把他们全部异或一下,结果如下:

由于异或支持交换律和结合律,所以:

1^2^3^4^5^1^2^3^4 = (1^1)^(2^2)^(3^3)^(4^4)^5= 0^0^0^0^5 = 5。

也就是说,那些出现了两次的数异或之后会变成0,那个出现一次的数,和 0 异或之后就等于它本身。就问这个解法牛不牛逼?所以代码如下

int find(int[] arr){
    int tmp = arr[0];
    for(int i = 1;i < arr.length; i++){
        tmp = tmp ^ arr[i];
    }
    return tmp;
}
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时间复杂度为 O(n),空间复杂度为 O(1),而且看起来很牛逼。

4、3的n次方

如果让你求解 3 的 n 次方,并且不能使用系统自带的 pow 函数,你会怎么做呢?这还不简单,连续让 n 个 3 相乘就行了,代码如下:

int pow(int n){
    int tmp = 1;
    for(int i = 1; i <= n; i++) {
        tmp = tmp * 3;
    }
    return tmp;
}
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不过你要是这样做的话,我只能呵呵,时间复杂度为 O(n) 了,怕是小学生都会!如果让你用位运算来做,你会怎么做呢?

我举个例子吧,例如 n = 13,则 n 的二进制表示为 1101, 那么 3 的 13 次方可以拆解为:

3^1101 = 3^0001 * 3^0100 * 3^1000。

我们可以通过 & 1和 >>1 来逐位读取 1101,为1时将该位代表的乘数累乘到最终结果。直接看代码吧,反而容易理解:

int pow(int n){
    int sum = 1;
    int tmp = 3;
    while(n != 0){
        if(n & 1 == 1){
            sum *= tmp;
        }
        tmp *= tmp;
        n = n >> 1;
    }
    
    return sum;
}
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时间复杂度近为 O(logn),而且看起来很牛逼。

这里说一下,位运算很多情况下都是很二进制扯上关系的,所以我们要判断是否是否位运算,很多情况下都会把他们拆分成二进制,然后观察特性,或者就是利用与,或,异或的特性来观察,总之,我觉得多看一些例子,加上自己多动手,就比较容易上手了。所以呢,继续往下看,注意,先别看答案,先看看自己会不会做。

5、找出不大于N的最大的2的幂指数

传统的做法就是让 1 不断着乘以 2,代码如下:

int findN(int N){
    int sum = 1;
   while(true){
        if(sum * 2 > N){
            return sum;
        }
        sum = sum * 2;
   }
}
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这样做的话,时间复杂度是 O(logn),那如果改成位运算,该怎么做呢?我刚才说了,如果要弄成位运算的方式,很多时候我们把某个数拆成二进制,然后看看有哪些发现。这里我举个例子吧。

例如 N = 19,那么转换成二进制就是 00010011(这里为了方便,我采用8位的二进制来表示)。那么我们要找的数就是,把二进制中最左边的 1 保留,后面的 1 全部变为 0。即我们的目标数是 00010000。那么如何获得这个数呢?相应解法如下:

1、找到最左边的 1,然后把它右边的所有 0 变成 1

2、把得到的数值加 1,可以得到 00100000即 00011111 + 1 = 00100000。

3、把 得到的 00100000 向右移动一位,即可得到 00010000,即 00100000 >> 1 = 00010000。

那么问题来了,第一步中把最左边 1 中后面的 0 转化为 1 该怎么弄呢?我先给出代码再解释吧。下面这段代码就可以把最左边 1 中后面的 0 全部转化为 1,

n |= n >> 1;
n |= n >> 2;
n |= n >> 4;
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就是通过把 n 右移并且做运算即可得到。我解释下吧,我们假设最左边的 1 处于二进制位中的第 k 位(从左往右数),那么把 n 右移一位之后,那么得到的结果中第 k+1 位也必定为 1,然后把 n 与右移后的结果做或运算,那么得到的结果中第 k 和 第 k + 1 位必定是 1;同样的道理,再次把 n 右移两位,那么得到的结果中第 k+2和第 k+3 位必定是 1,然后再次做或运算,那么就能得到第 k, k+1, k+2, k+3 都是 1,如此往复下去....

最终的代码如下

int findN(int n){
    n |= n >> 1;
    n |= n >> 2;
    n |= n >> 4;
    n |= n >> 8 // 整型一般是 32 位,上面我是假设 8 位。
    return (n + 1) >> 1;
}
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这种做法的时间复杂度近似 O(1),重点是,高逼格。

总结

上面讲了 5 道题,本来想写十道的,发现五道就已经写了好久了,,,,十道的话,怕你们也没耐心写完,而且一道比一道难的那种,,,,。

不过呢,我给出的这些例子中,并不是让你们学会了这些题就 Ok,而且让你们有一个意识:很多时候,位运算是个不错的选择,至少时间效率会快很多,而且高逼格,装逼必备。所以呢,以后可以多尝试去使用位运算哦,以后我会再给大家找些题来讲讲,遇到高逼格的,感觉很不错的,就会拿来供大家学习了。

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