简单记录一个计算机图形学方面的算法。即计算 2D 平面中，从点 A 到点 B 形成的向量的夹角。这算是游戏里面比较底层的算法，一般游戏引擎都会包装好这个方法，如 GMS2 的 point_direction 方法。常用于实现旋转一个物体，比如拨动时钟的指针、人物的武器使用鼠标瞄准敌人。本文代码使用 JavaScript 实现。
问题描述
在线演示 demo：codepen.io/F-star/pen/…
如图，求这里朝上的白色虚线到红线的角度。
我们规定角度区间为 (-180, 180]。当向量朝上的时候，角度为0，向量正朝下时，角度为 180。当然你也可以规定为 [0, 360)，只需要在代码得到的角度 angle 的基础上，计算 (angle + 360) % 360 即可。
另外要注意这里的坐标系的 y 轴是朝下的（一般计算机屏幕的坐标系都是y轴朝下的），x 轴朝向为右。
计算
已知中心点 cx、cy，光标的坐标 x，y，求角度。
说到底，求的是向量 a (x - cx, y - cy) 和向量 b (0, -1) 的夹角。这里我们需要用到 点积公式：
我们要求的是角度，于是得到下面公式：
假设向量 a 为 (x, y), 向量 b 为 (x2, y2)，则 a · b 为 x * x2 + y * y2。|a| 指的是向量 a 的模，即向量 a 的 x 和 y 平方和并开方，即 Math.sqrt(x * x + y * y)。
通过公式，我们得到了余弦值 cos，然后反余弦 Math.acos()，得到弧度，再进行单位换算得到角度。
function calCos(a, b) {
// 点积
let dotProduct = a[0] * b[0] + a[1] * b[1];
let d = Math.sqrt(a[0] * a[0] + a[1] * a[1]) * Math.sqrt(b[0] * b[0] + b[1] * b[1]);
return dotProduct/d;
}
let angle = Math.acos(radian) * 180 / Math.PI;
我们先看看 余弦函数 和 反余弦函数的示意图：
由图中的反余弦函数可知，求得的角度范围为 [0, 180]。那 [-180, 0) 的范围如何获取呢？我们还有个办法，就是通过 判断光标的 x 坐标大于还是小于 中心点的 x 坐标 来设置正负，如果大于，角度为正；反之为负。
let angle = Math.acos(radian) * 180 / Math.PI;
if (x < cx) angle = -angle;
完整代码
function calAngle(cx, cy, x, y) {
const radian = getCosBy2pt(x, y, cx, cy);
let angle = Math.acos(radian) * 180 / Math.PI;
if (x < cx) angle = -angle;
return angle;
// 计算 点1指点2形成 的向量
function getCosBy2pt(x, y, cx, cy) {
let a = [x - cx, y - cy];
let b = [0, -1];
return calCos(a, b);
}
function calCos(a, b) {
// 点积
let dotProduct = a[0] * b[0] + a[1] * b[1];
let d = Math.sqrt(a[0] * a[0] + a[1] * a[1]) * Math.sqrt(b[0] * b[0] + b[1] * b[1]);
return dotProduct/d;
}
}
演示
本人使用 svg 做了一个演示 demo 出来，使用了 svgjs 库。
这里你会发现我这里有个 蓝色的弧线 表示了角度经过的路径，是不是很好玩，其实这个弧的绘制也是通过 点积公式 计算出中心点到光标的连线上的一个点的坐标来实现的。有兴趣你可以自己研究一下。
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