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从似然函数到EM算法(附代码实现)

1. 什么是EM算法

最大期望算法(Expectation-maximization algorithm,又译为期望最大化算法),是在概率模型中寻找参数最大似然估计或者最大后验估计的算法,其中概率模型依赖于无法观测的隐性变量。

最大期望算法经过两个步骤交替进行计算,

第一步是计算期望(E),利用对隐藏变量的现有估计值,计算其最大似然估计值; 第二步是最大化(M),最大化在E步上求得的最大似然值来计算参数的值。M步上找到的参数估计值被用于下一个E步计算中,这个过程不断交替进行。

极大似然估计用一句话概括就是:知道结果,反推条件θ。

1.1 似然函数

在数理统计学中,似然函数是一种关于统计模型中的参数的函数,表示模型参数中的似然性。“似然性”与“或然性”或“概率”意思相近,都是指某种事件发生的可能性。而极大似然就相当于最大可能的意思。

比如你一位同学和一位猎人一起外出打猎,一只野兔从前方窜过。只听一声枪响,野兔应声到下,如果要你推测,这一发命中的子弹是谁打的?你就会想,只发一枪便打中,由于猎人命中的概率一般大于你那位同学命中的概率,从而推断出这一枪应该是猎人射中的。

这个例子所作的推断就体现了最大似然法的基本思想。

多数情况下我们是根据已知条件来推算结果,而最大似然估计是已经知道了结果,然后寻求使该结果出现的可能性最大的条件,以此作为估计值。

1.3 极大似然函数的求解步骤

假定我们要从10万个人当中抽取100个人来做身高统计,那么抽到这100个人的概率就是(概率连乘):

L(\theta)=L(x_1,...,x_n|\theta)=\prod_{i=1}^{n}p(x_i|\theta),\theta\in\ominus

现在要求的就是这个 \theta 值,也就是使得 L(\theta) 的概率最大化,那么这时的参数 \theta 就是所求。

为了便于分析,我们可以定义对数似然函数,将其变成连加的形式:

H(\theta)=lnL(\theta)=ln\prod_{i=1}^{n}p(x_i|\theta)=\sum_{i=1}^{n}lnp(x_i|\theta)

对于求一个函数的极值,通过我们在本科所学的微积分知识,最直接的设想是求导,然后让导数为0,那么解这个方程得到的θ就是了(当然,前提是函数L(θ)连续可微)。但,如果θ是包含多个参数的向量那怎么处理呢?当然是求L(θ)对所有参数的偏导数,也就是梯度了,从而n个未知的参数,就有n个方程,方程组的解就是似然函数的极值点了,最终得到这n个参数的值。

求极大似然函数估计值的一般步骤:

  1. 写出似然函数;
  2. 对似然函数取对数,并整理;
  3. 求导数,令导数为0,得到似然方程;
  4. 解似然方程,得到的参数即为所求;

1.4 EM算法

两枚硬币A和B,假定随机抛掷后正面朝上概率分别为PA,PB。为了估计这两个硬币朝上的概率,咱们轮流抛硬币A和B,每一轮都连续抛5次,总共5轮:

硬币 结果 统计
A 正正反正反 3正-2反
B 反反正正反 2正-3反
A 正反反反反 1正-4反
B 正反反正正 3正-2反
A 反正正反反 2正-3反

硬币A被抛了15次,在第一轮、第三轮、第五轮分别出现了3次正、1次正、2次正,所以很容易估计出PA,类似的,PB也很容易计算出来(真实值),如下:

PA = (3+1+2)/ 15 = 0.4 PB= (2+3)/10 = 0.5

问题来了,如果我们不知道抛的硬币是A还是B呢(即硬币种类是隐变量),然后再轮流抛五轮,得到如下结果:

硬币 结果 统计
Unknown 正正反正反 3正-2反
Unknown 反反正正反 2正-3反
Unknown 正反反反反 1正-4反
Unknown 正反反正正 3正-2反
Unknown 反正正反反 2正-3反

OK,问题变得有意思了。现在我们的目标没变,还是估计PA和PB,需要怎么做呢?

显然,此时我们多了一个硬币种类的隐变量,设为z,可以把它认为是一个5维的向量(z1,z2,z3,z4,z5),代表每次投掷时所使用的硬币,比如z1,就代表第一轮投掷时使用的硬币是A还是B。

  • 但是,这个变量z不知道,就无法去估计PA和PB,所以,我们必须先估计出z,然后才能进一步估计PA和PB。
  • 可要估计z,我们又得知道PA和PB,这样我们才能用极大似然概率法则去估计z,这不是鸡生蛋和蛋生鸡的问题吗,如何破?

答案就是先随机初始化一个PA和PB,用它来估计z,然后基于z,还是按照最大似然概率法则去估计新的PA和PB,然后依次循环,如果新估计出来的PA和PB和我们真实值差别很大,直到PA和PB收敛到真实值为止。

我们不妨这样,先随便给PA和PB赋一个值,比如: 硬币A正面朝上的概率PA = 0.2 硬币B正面朝上的概率PB = 0.7

然后,我们看看第一轮抛掷最可能是哪个硬币。 如果是硬币A,得出3正2反的概率为 0.20.20.20.80.8 = 0.00512 如果是硬币B,得出3正2反的概率为0.70.70.70.30.3=0.03087 然后依次求出其他4轮中的相应概率。做成表格如下:

轮数 若是硬币A 若是硬币B
1 0.00512,即0.2 0.2 0.2 0.8 0.8,3正-2反 0.03087,3正-2反
2 0.02048,即0.2 0.2 0.8 0.8 0.8,2正-3反 0.01323,2正-3反
3 0.08192,即0.2 0.8 0.8 0.8 0.8,1正-4反 0.00567,1正-4反
4 0.00512,即0.2 0.2 0.2 0.8 0.8,3正-2反 0.03087,3正-2反
5 0.02048,即0.2 0.2 0.8 0.8 0.8,2正-3反 0.01323,2正-3反

按照最大似然法则: 第1轮中最有可能的是硬币B 第2轮中最有可能的是硬币A 第3轮中最有可能的是硬币A 第4轮中最有可能的是硬币B 第5轮中最有可能的是硬币A

我们就把概率更大,即更可能是A的,即第2轮、第3轮、第5轮出现正的次数2、1、2相加,除以A被抛的总次数15(A抛了三轮,每轮5次),作为z的估计值,B的计算方法类似。然后我们便可以按照最大似然概率法则来估计新的PA和PB。

PA = (2+1+2)/15 = 0.33 PB =(3+3)/10 = 0.6

就这样,不断迭代 不断接近真实值,这就是EM算法的奇妙之处。

可以期待,我们继续按照上面的思路,用估计出的PA和PB再来估计z,再用z来估计新的PA和PB,反复迭代下去,就可以最终得到PA = 0.4,PB=0.5,此时无论怎样迭代,PA和PB的值都会保持0.4和0.5不变,于是乎,我们就找到了PA和PB的最大似然估计。

总结一下计算步骤:

  1. 随机初始化分布参数θ

  2. E步,求Q函数,对于每一个i,计算根据上一次迭代的模型参数来计算出隐性变量的后验概率(其实就是隐性变量的期望),来作为隐藏变量的现估计值:

    Q_i(z^{(i)})=p(z^{(i)}|x^{(i)};\theta)
  3. M步,求使Q函数获得极大时的参数取值)将似然函数最大化以获得新的参数值

    \theta=argmax\sum_{i}\sum_{z^{(i)}}Q_i(z^{(i)})log\frac{p(x^{(i)},z^{(i)};\theta)}{Q_i(z^{(i)})}
  4. 然后循环重复2、3步直到收敛。

详细的推导过程请参考文末的参考文献。

2. 采用 EM 算法求解的模型有哪些?

用EM算法求解的模型一般有GMM或者协同过滤,k-means其实也属于EM。EM算法一定会收敛,但是可能收敛到局部最优。由于求和的项数将随着隐变量的数目指数上升,会给梯度计算带来麻烦。

3.代码实现

高斯混合模型 EM 算法

机器学习通俗易懂系列文章

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4. 参考文献

如何通俗理解EM算法

作者:@mantchs

GitHub:github.com/NLP-LOVE/ML…

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