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描述性统计:均值

「描述」一词,颇有拟人的味道。然而数字本身不会说话,它的运算是人为约定,意义也由人赋予。「醉翁之意不在酒」,数字实际上反映了人脑的博弈和智慧。


如何描述「平均」?

我们最熟悉的均值莫过于平均数(mean),该值由总体或样本所有观测值的和除以计数求得。其实,均值还有另外两种「形式」, 中位数(median)和众数(mode)。前者表示对所有观测值排序后再取 50% 分位点处的数,后者表示观测值中出现频率最高的数字。仔细比较这三个数,你会发现他们在解决「平均」上的差异。


平均数

为了尽最大努力保证公平,平均数考虑了每一个个体对总体的贡献,将每个观测数字以照相同或不同的比例调和。我们从小就学会的平均数 μ = mean(X) = sum(X) * 1 / count(X) (其中的X代表样本),便是以比例 1/count(X) 的方式调和观测值的做法。类似地,还可用其他不同的数字作为调和比例来计算,比如按照数据出现频率大小定义比例的大小,这种平均数就是我们常听到用到的加权平均数(weighted mean)。


中位数

采用升序或降序方式排列观测值,其中「最中间」的数字就是中位数。那么何为「最中间」呢?按照分位的做法,「最中间」是 50% 分位点。换句话就是说,这里能够非常合适地将等量的数据分开在左右两边。当个体数量是奇数,最中间的数只有一个,没得争议。当个体数量是偶数时,最中间的数可能存在两个,此时实际的中位数是这两个。但是在应用上为了计算方便和统一,常常定义中位数仅由一个去表示。那么问题来了,由哪个数来代表中位数呢?本着尽最大努力公平的原则,中位数是这两个数的平均数。


众数

计算每个观测值出现的频次,以频次最高的作为众数。这让我们容易想到众数有可能不止一个而是一个集合。同样出于应用的考虑,众数常常由集合中的任一个元素来表示。因为集合中每个元素的频次相同,对于样本或总体而言,无论用哪一个来代表「平均」都没有差别。

这些描述「平均」的方式确实各有千秋,我们大概能够感性地认识到,平均数像是一个「冷静而理性」但又「过于绝对」的少年,中位数像一个「深思熟虑」、「细腻体贴」的姑娘,众数则是一位「古典的」、坚持「少数服从多数」的长者。


迷惑的均值

当数据分布呈现非常态,比如下面的例子,平均数成为「众矢之的」,极易受到边界甚至异常值的影响,而中位数和众数却能牢牢地固定在轴中心。这似乎有点「不患寡而患不均」的意思了。因此,在均值的选取上要格外地小心。



如何实现「平均」?

Python 非常适合用来做数据。计算均值的功能能够由自带库或者其他工具实现,比如 numpy.mean()、numpy.median() 和 scipy.stats.mode()。绕开这些资源,我们且看如何用编程实现。


温馨提示:以下内容涉及中文编程的理念,可能引起极度不适。


平均数

这个比较简单。考虑篇幅,本文任何代码片段如非必要之处不进行异常处理。

def 平均数(X):
    return sum(X) / len(X)复制代码


中位数

难点是偶数个时的求法。求 50% 分位点需要先计算个数,然后要注意下标是一个整数,不能直接乘以 0.5 。

def 中位数(X): 
    副本 = X        # 因列表.sort()会改变原数据状态,此处拷贝 X
    个数 = len(副本)
    副本.sort()
    if 个数 % 2 == 0:                       # 当个数为偶数时
        左分位数 =  副本[个数//2 - 1]      # 50%分位点左侧索引
        右分位数 =  副本[个数//2]          # 50%分位点右侧索引
        return (左分位数 + 右分位数) / 2
    else: 
        return  副本[个数//2]复制代码

上面提及到的函数 .sort() 会将列表就地排序。在「函数式编程」的理念中,这种能够改变原数据的函数被认为是含「副作用」的非「纯函数」。任何函数都要谨慎修改原始数据。借鉴这样的思想,我们在面向数据的编程中务必要注意是否写了类似的函数,确保数据的一致性和可重现性。


众数

求众数的步骤又复杂了一些,关键是计数和选择。

def 众数(X): 
    每个数出现的次数 = {}           # 用字典记录每个数出现的次数
    for x in X:
        if x not in 每个数出现的次数.keys():
            每个数出现的次数[x] = 1
        else:
            每个数出现的次数[x] += 1
    众数 = None
    最大次数 = 0
    for 数字, 次数 in 每个数出现的次数.items():
        if 次数>最大次数:         # 若出现多个值,只返回第一个
            众数 = 数字
            最大次数 = 次数
    return  众数复制代码

这种方法还可以用来找出频率最高的非数值型数据(标签)。


如何利用「平均」?

了解三者不同的特点以后,我们或许能够从他们身上找到用处。


填充缺失值

少量的缺失值可以直接丢弃处理。除此之外,因为均值很好地保留并反映了样本或总体的集中特征,以均值填充缺失值也是一个合适的方法。对于数值型数据,可以平均数或中位数填充,用哪种数需要结合实际情况。对于非数值型数据,可以众数填充。


集成学习

集成学习(Ensemble Learning)会按照一定规则来组合模型进行学习,从而获得比单个模型更好的效果。这是一种利用「集体智慧」的方法。对于回归任务,集成模型输出的数值可以是组合各个基模型预测结果后的平均数。对于分类任务,集成模型可以输出各个基模型结果的众数。


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