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超简单的博弈算法题,一行代码解决!

今天分享一道超简单的博弈题,通过找规律的方式来发现其中的奥秘,最后只需要一行代码解决。

题目描述

爱丽丝和鲍勃一起玩游戏,他们轮流行动。爱丽丝先手开局。

最初,黑板上有一个数字 N 。在每个玩家的回合,玩家需要执行以下操作:

  • 选出任一 x,满足 0 < x < NN % x == 0
  • N - x 替换黑板上的数字 N

如果玩家无法执行这些操作,就会输掉游戏。

只有在爱丽丝在游戏中取得胜利时才返回 True,否则返回 false。假设两个玩家都以最佳状态参与游戏。

示例 1:

输入:2
输出:true
解释:爱丽丝选择 1,鲍勃无法进行操作。复制代码

示例 2:

输入:3
输出:false
解释:爱丽丝选择 1,鲍勃也选择 1,然后爱丽丝无法进行操作。复制代码

提示:

  1. 1 <= n="" <="1000

题目解析

对于这种博弈类的题目,如果没有思路的话我们不妨多举几个例子,尝试着从中找寻规律。

  • 假设 N = 1,爱丽丝没得选择,直接失败,即 鲍勃获胜
  • 假设 N = 2,爱丽丝有选择,她可以选择 x = 1,鲍勃面对的就是 N = 2 - 1 = 1,无法操作,爱丽丝获胜
  • 假设 N = 3,爱丽丝只能选择 x = 1,因为选 x = 2 不满足 3 % 2 = 0,鲍勃面对的就是 N = 3 - 1 = 2,参考上面 N = 2 的情形,此时鲍勃为 N = 2 的先手,鲍勃获胜
  • 假设 N = 4,爱丽丝可以选择 x = 1 来使鲍勃遇到 N = 3 的情况,爱丽丝获胜

貌似有个规律:N 为奇数时, 鲍勃获胜;N 为偶数时, 爱丽丝获胜

是这样吗?

是的。

事实上,无论 N 为多大,最终都是在 N = 2 这个临界点结束的。谁最后面对的是 N = 2 的情形,谁就能获胜(这句话不太理解的话,仔细看看 N = 2、N = 3 这两种情形)。

接下来,我们得知道一个数学小知识:奇数的因子(约数)只能是奇数,偶数的因子(约数)可以是奇数或偶数

千万不要忽略 1 也是因子!

爱丽丝是游戏开始时的先手。

  • 当她面对的 N 为偶数时,她 一定可以 选到一个 N 的奇数因子 x(比如 1 ),将 N - x 这个奇数传给鲍勃;用 N - x 替换黑板上的数字 N ,鲍勃面对的就是奇数 N,只能选择 N 的奇数因子 x,奇数 - 奇数 = 偶数,此时传给爱丽丝的又是偶数。这样轮换下去爱丽丝会遇到 N = 2 的情形,然后获胜;
  • 当爱丽丝遇到的 N 是奇数时,只能传给鲍勃偶数或无法操作 (N = 1) ,无法获胜。

代码实现

class Solution {
    public boolean divisorGame(int N) {
        return N % 2 == 0;
    }
}复制代码

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