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你身边的数学 - Birthday Problem

起源

不知道大家有没有这个习惯,每当新认识一位 志 (我)(想)(追)(你) 的朋友时,都会了解对方的 生日, 如果恰巧与自己同一天生日的话,会觉得这是 上天注定的缘分,换言之,你这个朋友我 交 (追) 定了。

说实话,笔者从小到大也没有认识与我同一天生日的朋友 ( 可能是我比较孤僻 ),这个概率也非常容易算,两个人生日同一天的概率就是三百六十五分之一嘛。

话说有一天我走在马路上,在思考着我为什么朋友这么少时,一道数学题闪过我的脑海......

至少要有多少个朋友才能保证里面有 50% 概率存在两个相同生日的人呢?

解题

终于到了激动人心的解题环节,相信大家都和我一样兴奋。

那么这道题要怎么解呢?

思考

因为 至少有两个朋友同一天生日的概率 = 100% - 所有朋友生日都不相同的概率

所以其实我们可以将题目稍微转变一下: 至少要多少人才能保证里面有 50% 概率所有人生日都不相同?

(接下来的内容可能会引起不适,读者可根据自身情况施放段落跳跃技能)

计算

计算过程如下:

其中 P 为概率,n = 365,k 代表我们需要的答案、即人数。

过程讲解

  • 第一行我们列出了 k 个人中所有人生日都不相同的概率表达式
  • 第二行我们首先等式两边取 对数函数、然后取 log(1+x) 关于 x=0 的泰勒展开式的第一项 ( 后面项量过小可忽略 )
  • 第三行我们求得 kn最终关系式

最后我们代入 n = 365 ,即可得出 k = 22.49

总结

也就是说,假设我们有 23 个朋友,有一半的概率他们中间至少有 2 个人同一天生日~

希望大家能从本篇文章有所收获~

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