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CocosCreator中worldMatrix到底是什么(上)

Cocos Creator 中 _worldMatrix 到底是什么(上)

1. (矩阵)Matrix是什么,有什么用

(矩阵)Matrix一个神奇的存在?在开发过程中对里边各项值的含义是不是抓耳挠腮,百思不得其解?今天我们就来庖丁解牛,拨开它的神秘面纱。由于内容较多,关于Cocos Creator 中的_worldMatrix会分为三篇文章完成。最终形成一个完整的demo

首先我们先看看在Cocos Creator编辑器中,对应图形的变化都有那些属性,如下图

IDE中变换属性-小院不小

红框的地方分别是位移、旋转、缩放、倾斜它们都一一对应一个变换矩阵。

Cocos Creator 中的(矩阵)Matrix 是一个长度16的一维数组,按照先列后行的顺序存储一个 4 x 4 的放方阵。数组索引 0 1 2 3 分别表示矩阵第一列1 2 3 4 的数据。在2d的游戏坐标系中,一个三维矩阵就可以满足基本的变换,但cocos creator 采用了四维矩阵,应该是为了和3d保持一致。矩阵表示如下(左边体现Mat4对应属性排列位置。右边表示代码中经常用到的变量a b c d tx ty与矩阵对应的位置信息)

\left[
 \begin{matrix}
m00&m04&m08&m12\\
m01&m05&m09&m13\\
m02&m06&m10&m14\\
m03&m07&m11&m15\\
  \end{matrix} 
\right]
=>
\left[
\begin{matrix}
a&c&0&0\\
b&d&0&0\\
0&0&1&0\\
tx&ty&tz&1
\end{matrix}
\right]

这样的信息有什么用呢?用来存储节点 旋转 缩放 倾斜 平移的图形变换信息。要想知道其中缘由,复习一下线性代数及高数是很有必要的

  1. 矩阵乘法,以及相关性质
  2. 单位矩阵、逆矩阵、矩阵转置
  3. 向量
  4. 齐次坐标
  5. 三角函数

有了以上知识,我们就可以简单的推导下2d情况下,图形变换对应的4中情况

2. 旋转矩阵推导

在2d坐标系中,假设存在点(x,y),我们将该点同原点(0,0)相连形成一个线段。此时线段与坐标系中x轴的弧度为a 。 我们将在以原点为圆心,线段的长度半径r。逆时针旋转弧度 b,该条线段另外一端坐标变为(x1,y1),如下图(左1)

旋转推导

三个函数相关知识

  • 正弦函数和余弦函数 sin(a)=y/r => y = rsin(a) cos(a)=x/r => x = rcos(a)
  • 和角公式 cos(a+b) = cos(a)cos(b) - sin(a)sin(b) sin(a+b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b)

由三角函数可以推导出 x1 = rcos(a+b) = rcos(a)cos(b) - rsin(a)sin(b) = xcos(b) - ysin(b) y1 = rsin(a+b) =rsin(a)cos(b) + rcos(a)sin(b) = ycos(b) + xsin(b) = xsin(b)+ysin(b) 转换矩阵形式 B=AX

\left[
 \begin{matrix}
x1\\y1\\1
  \end{matrix} 
\right]
=
\left[
\begin{matrix}
cos(b)&-sin(b)&0\\
sin(b)&cos(b)&0\\
0&0&1
\end{matrix}
\right]
\times
\left[
\begin{matrix}
x\\y\\1
\end{matrix}
\right]

在cocos creator中 ,采用行矩阵的写法。以上在cocos creator实际运行形式如下,转换公式如下 B^T=X^T*A^T。cocos creator 中剩下的缩放,倾斜,平移,请按照转置矩阵,自行推导。

\left[
\begin{matrix}
x1&y1&1
\end{matrix}
\right]
=
\left[
\begin{matrix}
x&y&1
\end{matrix}
\right]
\times
\left[
\begin{matrix}
cos(b)&sin(b)&1\\
-sin(b)&cos(b)&1\\
0&0&1
\end{matrix}
\right]

3. 缩放矩阵推导

在2d坐标系中,假设存在点(x,y)缩放就是将坐标的x或y分别乘以一个缩放因子sx或sy。得到一个新的坐标(x1,y1),如下图左2。

旋转推导

由此可得到缩放公式 x1=xsx = xsx + y0 y1=xsy = x0 + ysy 转换矩阵形式 B=AX

\left[
 \begin{matrix}
x1\\y1\\1
  \end{matrix} 
\right]
=
\left[
\begin{matrix}
sx&0&0\\
0&sy&0\\
0&0&1
\end{matrix}
\right]
\times
\left[
\begin{matrix}
x\\y\\1
\end{matrix}
\right]

####4. 倾斜矩阵推导

在2d坐标系中,假设存在点(x,y)倾斜分为x轴倾斜以及y轴倾斜。沿x轴倾斜,就是将该点与点(x,0)连接而成的线段,以(x,0)为圆心,旋转弧度a。如下图(左3,左4) 得到一个新的坐标(x1,y1)。

旋转推导

由此可得到倾斜公式

  • 沿x轴倾斜弧度a (图左3) x1=x+ytan(a) y1=y 转换矩阵形式 B=AX
\left[
 \begin{matrix}
x1\\y1\\1
  \end{matrix} 
\right]
=
\left[
\begin{matrix}
1&tan(a)&0\\
0&1&0\\
0&0&1
\end{matrix}
\right]
\times
\left[
\begin{matrix}
x\\y\\1
\end{matrix}
\right]
  • 沿y轴倾斜弧度a (图左4) x1=x y1=y+xtan(a)=xtan(a)+y
    转换矩阵形式 B=AX
\left[
 \begin{matrix}
x1\\y1\\1
  \end{matrix} 
\right]
=
\left[
\begin{matrix}
1&0&0\\
tan(a)&1&0\\
0&0&1
\end{matrix}
\right]
\times
\left[
\begin{matrix}
x\\y\\1
\end{matrix}
\right]

####5. 平移矩阵推导

在2d坐标中,假设存在点(x,y)平移分别是将 x 或 y 加上 x方向位移 tx 或 y方向位移 ty。从而得到新的点坐标(x1,y1)(图左5)

旋转推导

此可得到公式

x1=x+tx y1=y+ty

转换矩阵形式 B=AX

\left[
 \begin{matrix}
x1\\y1\\1
  \end{matrix} 
\right]
=
\left[
\begin{matrix}
1&0&tx\\
0&1&ty\\
0&0&1
\end{matrix}
\right]
\times
\left[
\begin{matrix}
x\\y\\1
\end{matrix}
\right]

6. 复合变换

将变换矩阵,依次相乘得到一个新的矩阵记为T_c,使得B=X*T_c。所以Cocos Creator中的,_worldMatrix,就是当前节点在世界坐标系中对应的复合变换矩阵T_c。矩阵的乘法不满足交换律。所以不同的顺序,变换的效果会不相同。

7.小结

未完待续,中篇,我将分析CCNode.js 中 _updateLocalMatrix 方法为切入点,来加强对Cocos Creator 中 _worldMatrix理解。下篇,利用理解的知识完成图形变换demo。再次加强对_worldMatrix认知。

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