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手撕数据结构与算法-开篇

1. 浪子回头

2019年,这个不平凡的一年,中美贸易战、各个大厂裁员。造成了现在互联网行情不好,形势很严峻啊。有的人说今年是互联网过去十年中最差的一年,也可能是未来十年中最好的一年。身处这样乱世的我们怎么办?我也听很多朋友说,今年的面试都比较严格,特点是"要求高、薪资低"。也经常听见他们说某某大厂考了个手写算法,结果当场挂了。身为程序员的我们,再这样行业形势严峻、竞争压力大的情况下,只有不断提升自身能力,以确保在行业内能有个立足之地

《数据结构与算法》在我学生时代就是一门让我望而止步的课程。听着名字就感觉很晦涩难懂、需要大量的数学知识做铺垫。相信很多人也都和我一样,上学的时候学的一知半解,到了工作以后也很少用到就不了了之了。但是它却成为了你面试、寻找好的平台的障碍。很多大厂都很看中程序员的基本功,所以在面试中算法就编程了常考题目,为什么呢?因为基础知识就像是一座大楼的地基,它能够决定你技术的高度深度。所以一般大厂都是看中你有没有这个技术发展的潜力。("所以大家要夯实基本功了。")

在我看来后端程序员应该学的有三大基础知识"数据结构与算法""计算机系统""操作系统Linux"。在这个人人都必须要手撕算法的时代,彻夜难眠的我(纯属扯淡)决定带领大家一起学习三大基础知识,本次开篇系列是《手撕数据结构与算法》,每一个系列更完就会开启下一个系列,大家不要着急。

先放个图,让大家了解下本系列都要讲的内容

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2. 数学知识复习

在我们系统的学习数据结构与算法之前,我们先简单的复习几个数学知识,相信大家也都忘的差不多了,是不是都学完了又还给老师了呢?嫑急,跟我一起来复习一下。

2.1. 指数

指数是幂运算aⁿ(a≠0)中的一个参数,a为底数,n为指数,指数位于底数的右上角,幂运算表示指数个底数相乘。当n是一个正整数,a表示n个a连乘。当n=0时,aⁿ=1。《百度百科》

  • 指数:就是aⁿ中的n。
  • 底数:就是aⁿ的a
  • 幂运算:指数个底数相乘。

幂运算公式:

2.2. 对数

如果a的x次方等于N(a>0,且a不等于1),那么数x叫做以a为底N的对数(logarithm),记作。其中,a叫做对数的底数,N叫做真数。《百度百科》

在计算机科学中,除非有特别的声明,否则所有的对数都是以2为底的。

公式:

简单列了两个公式,大家看看就行了,知道一下啥是对数

3. 时间复杂度

对于算法时间复杂度,可能有的朋友可能想了,不就是估算一段代码的执行时间嘛,我们可以搞个监控啊,看看一下每个接口的耗时不就好了,何必那么麻烦,还要分析下时间复杂度。但是这个监控属于事后操作,只有代码在运行时,才能知道你写的代码效率高不高,那么如何在写代码的时候就评估一段代码的执行效率呢,这个时候就需要时间复杂度来分析了。大家平常写代码可以结合时间复杂度和监控做好事前事后的分析,更好的优化代码。

3.1 大O表示法

因为渐进时间复杂度使用大写O来表示,所以也称大O表示法。例如: O(f(n))

常见时间复杂度:

常见时间复杂度所耗费时间从小到大依次是:

推导大O的方法:

3.2 如何分析时间复杂度

  • O(1)

    int i = 5;         /*执行一次*/
    int j = 6;         /*执行一次*/
    int sum = j + i;   /*执行一次*/
    复制代码

    这段代码的运行函数应该是f(n)=3 ,用来大O来表示的话应该是O(f(n))=O(3) ,但是根据我们的推导大O表示法中的第一条,要用1代替函数中的常数,所以O(3)=>O(1),那么这段代码的时间复杂度就是O(1)而不是O(3)。

  • O(logn)

    int count = 1;             /*执行一次*/
    int n = 100;               /*执行一次*/
    while (count < n) {
      count = count * 2;     /*执行多次*/
    }
    复制代码
  • O(n)

    for (int k = 0; k < n; k++) {
      System.out.println(k);   /*执行n次*/
    }
    复制代码

    这段代码的执行次数会随着n的增大而增大,也就是说会执行n次,所以他的时间复杂度就是O(n)。

  • for (int k = 0; k < n; k++) {
     for (int l = 0; l < n; l++) {
        System.out.println(l);      /*执行了n*n次/
     }
    }
    复制代码

读到这里不知道大家学会了没有?其实分析一段代码的时间复杂度,就找到你代码中执行次数最多的地方,分析一下它的时间复杂度是什么,那么你整段代码的时间复杂度就是什么。以最大为准。

3.3 时间复杂度量级

    public int find(int[] arrays, int findValue) {
        int result = -1;                                /*执行一次*/
        int n = arrays.length;
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            if (arrays[i] == findValue) {               /*执行arrays.length次*/
                result = arrays[i];
                break;
            }
        }
        return result;                                 /*执行一次*/
    }
复制代码

我们来分析一下上边这个方法,这个方法的作用是从一个数组中查找到它想要的值。其实一个算法的复杂度还会根据实际的执行情况有一定的变化,就比如上边这段代码,假如数组的长度是100,里面存的是1-100的数。

  • 最好情况时间复杂度

    如果我在这个数组里面查找数字1,那么在它第一次遍历的时候就找到了这个值,然后就执行break结束当前循环,此时所有的代码只执行了一次,属于常数阶O(1),这就是最好情况下这段代码的时间复杂度。

  • 最坏情况时间复杂度

    如果我在这个数组里面查找数字100,那么这个数组就要被遍历一边才能找到并返回,这样的话这个方法就要受到数组大小的影响了,如果数组的大小为n,那么就是n越大,执行次数越多。属于线性阶O(n) ,这就是最坏情况下的时间复杂度。

  • 平均情况时间复杂度

    我们都知道最好、最坏时间复杂度都是在两种极端情况下的代码复杂度,发生的概率并不高,因次我们引入另一个概念“平均时间复杂度”。我们还看上边的这个方法,要查找个一个数有n+1中情况:在数组0 ~ n-1的的位置中和不再数组中,所以我们将所有代码的执行次数累加起来((1+2+3+…+n)+n),然后再除以所有情况n(n+1),就得到需要执行次数的平均值了。

    推导过程:

    大O表示法,会省略系数、低阶、常量,所以平均情况时间复杂度是O(n)

    但是这个平均复杂度没有考虑各自情况的发生概率,这里的n+1个情况,它们的发生概率是不一样的,所以还需要引入各自情况发生的概率再具体分析。findValue要么在1~n中,要么不在1~n中,所以他们的概率都是,同时数据在1~n中的各个位置的概率一样为 ,根据概率乘法法则,findValue在1~n中的任意位置的概率是 ,因此在上边推导的基础上需要在加入概率的的发生情况。

    考虑概率的平均情况复杂度为:

推导过程:

这就是概率论中的加权平均值,也叫做期望值,所以平均时间复杂度全称叫:加权平均时间复杂度或者期望时间复杂度。平均复杂度变为,忽略系数及常量后,最终得到加权平均时间复杂度为O(n)。

4. 空间复杂度

算法的空间复杂度是对运行过程中临时占用存储空间大小的度量,算法空间复杂度的计算公式记作:S(n) = O(f(n)),n为问题规模,f(n)为语句关于n所占存储空间函数。由于空间复杂度和时间复杂度的大O表示法相同,所以我们就简单介绍下。

常见的空间复杂度从低到高是:

4.1 如何分析空间复杂度

  • O(1)

    public static void intFun(int n) {
     var intValue = n;
     //...
    }
    复制代码

    当算法的存储空间大小固定,和输入的规模没有直接的关系时,空间复杂度就记作O(1),就像上边这个方法,不管你是输入10,还是100,它占用的内存都是4字节。

  • O(n)

    public static void arrayFun(int n) {
     var array = new int[n];
     //...
    }
    复制代码

    当算法分配的空间是一个集合或者数组时,并且它的大小和输入规模n成正比时,此时空间复杂度记为

  • public static void matrixFun(int n) {
     var matrix = new int[n][n];
     //...
    }
    复制代码

    当算法分配的空间是一个二维数组,并且它的第一维度和第二维度的大小都和输入规模n成正比时,此时空间复杂度记为

5. 总结

对于时间空间的取舍,我们就要根据具体的业务实际情况而定,有的时候就需要牺牲时间来换空间,有的时候就需要牺牲空间来换时间,在现在这个计算机硬件性能飙升的时代,当然我们还是喜欢选择牺牲空间来换时间,毕竟内存还是有的,也不贵。并且可以提高效率给用户更好的体验。

  • 什么是时间复杂度?

    时间复杂度就是对算法运行时间长短的度量,用大O表示为T(n) = O(f(n)) 。常见的时间复杂度从低到高的顺序是:

  • 什么是空间复杂度?

    空间复杂度是对算法运行时所占用的临时存储空间的度量,用大O标识为S(n)= O(f(n)) 。常见的空间复杂度从低到高的顺序是:

6. 参考

  1. 《数据结构与算法分析》
  2. 《大话数据结构》
  3. 《漫画算法》

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