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🐳图解精选 TOP 面试题 002 | LeetCode 104. 二叉树的最大深度

该系列题目取自 LeetCode 精选 TOP 面试题列表:leetcode-cn.com/problemset/…

题目描述

原题链接:leetcode-cn.com/problems/ma…

给定一个二叉树,找出其最大深度。

二叉树的深度为根节点到最远叶子节点的最长路径上的节点数。

说明:叶子节点是指没有子节点的节点。

示例:

给定二叉树 [3,9,20,null,null,15,7]

    3
   / \
  9  20
    /  \
   15   7
复制代码

返回它的最大深度 3 。

解题思路

题目要求求出二叉树的最大深度,我们知道,每个节点的深度与它左右子树的深度有关,且等于其左右子树最大深度值加上 1,可以写作:

maxDepth(root) = max(maxDepth(root.left), maxDepth(root.right)) + 1
复制代码

[3,9,20,null,null,15,7] 为例,根节点 3 的深度取决于它左右子树的深度:

因其左右子树深度尚不可知,我们需要对其一一求解。

先来看左子树,即以 4 为根节点的子树,因为它没有左右子节点,所以深度为 1:

再来看以 20 为根节点的右子树,同理,它的深度也取决于左右子树的深度:

它的左子节点 15 与右子节点 7 的情况与上述节点 4 相同,左右子节点均为空,所以这两个节点的深度也是 1。由此我们可以得出节点 20 的深度为 2,推导过程如下:

max(左子树最大深度, 右子树最大深度) + 1
=
max(1, 1) + 1
=
1 + 1
=
2
复制代码

这样一来,我们知道了所有子节点的深度,各节点深度如下:

由此可得根节点 3 的深度为:

max(左子树最大深度, 右子树最大深度) + 1
=
max(1, 2) + 1
=
2 + 1
=
3
复制代码

上述推导过程整体如下:

maxDepth(3-root)
=
max(maxDepth(4-sub), maxDepth(20-sub)) + 1
=
max(1, max(maxDepth(15-sub), maxDepth(7-sub)) + 1) + 1
=
max(1, maxDepth(1, 1) + 1) + 1
=
max(1, 2) + 1
=
2 + 1
=
3
复制代码

在推导过程中我们看到 maxDepth() 函数频繁出现,即我们在频繁地求取某节点的最大深度。由此可见,「求节点的最大深度」是该题的子问题,该题最直观的解答方式是用递归求解。

递归设计

在递归算法中,递归函数的设计非常重要,首先我们要先明确该函数的作用,然后再确定何时结束与何时调用该函数

明确函数作用

该函数的作用用一句话概括就是:计算节点的最大深度

  • 函数输入:确定的节点
  • 函数输出:该节点的最大深度

何时结束

当输入的节点为空节点时,我们无需继续计算其子树的深度,此时可以直接结束递归函数,并返回空节点的深度为 0。

何时调用

当输入节点为非空节点时,该节点的深度取决于其左右子树的深度,即:

maxDepth(root) = max(maxDepth(root.left), maxDepth(root.right)) + 1
复制代码

此时需要进行函数的递归调用。

具体实现

Python

# Definition for a binary tree node.
# class TreeNode:
#     def __init__(self, x):
#         self.val = x
#         self.left = None
#         self.right = None

class Solution:
    def maxDepth(self, root: TreeNode) -> int:
        if root is None:
            return 0
        return max(self.maxDepth(root.left), self.maxDepth(root.right)) + 1
复制代码

Golang

/**
 * Definition for a binary tree node.
 * type TreeNode struct {
 *     Val int
 *     Left *TreeNode
 *     Right *TreeNode
 * }
 */
func maxDepth(root *TreeNode) int {
    if root == nil {
        return 0
    }
    return max(maxDepth(root.Left), maxDepth(root.Right)) + 1
}

func max(a int, b int) int {
    if a > b {
        return a
    }
    return b
}
复制代码

复杂度

假设节点的数量为 n。

时间复杂度

因为每个节点都需要被访问一次,因此时间复杂度为 O(n)

空间复杂度

考虑到递归使用调用栈(call stack)的情况。

  • 最坏情况:树完全不平衡。例如每个节点都只有右节点,此时将递归 n 次,需要保持调用栈的存储为 O(n)
  • 最好情况:树完全平衡。即树的高度为 log(n),此时空间复杂度为 O(log(n))

总结一下

与树相关的题目常用递归来解,对于递归而言,我们需要明确:

  1. 递归函数的用途
  2. 递归函数的结束条件
  3. 递归函数自身调用的时机

除此之外,在计算空间复杂度时,我们也要考虑到递归时调用栈的情况。

当然了,这道题还可以用迭代法来做,由于篇幅有限,就不在本篇叙述了。大家可以想想要怎么用迭代法解答本题,我们下次再来细说~


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