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深入理解逻辑回归算法(Logistic Regression)

在继续学习 GBDT(Gradient Boosting Dicision Tree) 决策树前,我们需要先来了解下逻辑回归算法(Logistic Regression),因为 GBDT 较为复杂,但在逻辑回归的基础上,理解起来会容易些。

逻辑回归是机器学习中最为基础的算法,也是工业界使用得最多的算法之一,究其原因,在于其简单、高效以及实用。

虽然线性回归也很简单,但却不实用,是因为逻辑回归本质上是一个概率模型,在实际应用中,预测一个 0-1 之间的概率值要比预测一个实数的场景要多得多,比如在广告业务中,我们往往求的是用户点击一条广告的概率。

逻辑回归是一个概率模型,但通过一定的转换,我们依然可以把该模型的预测范围从 0-1 转换到实数范围,所以它和线性回归都可以被归纳到「通用的线性模型」(Generalized Linear Model)中,要理解这种转换,我们需要引入一个概念:odds 和 log(odds)。

odds 和 log(odds)

odds 是几率、胜算的意思,据维基百科记载,这个概念主要在赌博和统计学领域中使用,且它的历史可以追溯到 16 世纪,早于概率论的发展时期。

odds 很容易理解,拿足球比赛作为例子,假设中国队打巴西队,中国队的赢面是 1,输面是 99,那么中国队赢的 odds 为 1/99,输的 odds 就是 99,odds 和概率的区别也很容易通过这个例子看出来,从概率的角度讲,中国队赢巴西队的概率为 0.01,输的概率为 0.99。

上面的例子还可以看出,中国队赢的 odds 和巴西队赢的 odds 落在不同的取值范围中,中国队赢的 odds 的落在 (0,1) 区间,而巴西队落在 (1,∞) 区间;也就是说,中国队和巴西队比赛,两个队伍的输赢程度应该是相等的,但 1/99 和 99 这两个数,它们的尺度不同,就很难对此做出直观的判断;而 log(odds) 就是用来解决该问题的:

中国队赢 巴西队赢
odds 1/99 99
log(odds) -4.60 4.60

可以看到,对 odds 加了 log 后,中国队赢和巴西队赢这两种情况的 log(odds) 的绝对值都是 4.6,即两者的输赢程度相同,一眼就可以看出来;且当我们算赢面的 log(odds) 时,通过正负号就可以判断赢面多还是赢面少,如 -4.6 就表示中国队的赢面是少的;此外,当 log(odds) 为 0 时,赢面和输面一样多。

log(odds) 是一个很有用的指标,你可以写一个程序,不断产生 0-100 之间的随机数 x,然后把 x 对应的 \log(\frac{x}{100-x}) 用柱状图画出来,你会发现它符合正态分布:

在实际应用中,我们可以把上面的 x 替换为某个网站的点击,或购买等指标,根据历史数据算出对应的 log(odds) 分布,再找一堆相关的特征来拟合这个分布,这就是我们所说的 CTR(Click Through Ratio)或 CVR(Conversion Rate) 模型,后续来了一个用户,我们把他相关的特征带入到模型中,算出相应的 log(odds),就是这个用户会点击或购买某个商品的几率。

至此,有同学会问,这和逻辑回归有什么关系?实际上,log(odds) 还有一种计算方法:

\log(odds) = \log(\frac{p}{1-p})

其实也很容易理解,依然是上面的例子,中国队胜利的概率为 p=0.1,中国队胜利的 log(odds) 为

\begin{aligned}
\log(odds) &= \log(\frac{1}{99}) \\&= \log(\frac{\frac{1}{100}}{\frac{99}{100}}) \\&= \log(\frac{\frac{1}{100}}{1-\frac{1}{100}}) \\&=\log(\frac{p}{1-p})
\end{aligned}

我们把等式两边同时求一个 e 次方,算出 p 值,即

\begin{aligned}
p &= \frac{e^{\log(odds)}}{1+e^{\log(odds)}} \\&= \frac{1}{1+e^{-\log(odds)}}
\end{aligned}

这就是我们所熟知的逻辑回归,等式右边的表达式通常被称为 sigmoid 函数,而 log(odds) 又被称为 logit 函数,它们之间的转换关系如下图所示,其中 x 可看成特征向量。

从图中可以看出,如果把逻辑回归转化为 log(odds),有两点明显的变化:

  1. log(odds) 是一条直线
  2. log(odds) 可以将逻辑回归的值域从 (0, 1) 拓宽到 (-∞, +∞)

突然有点像线性回归了,但和线性回归的差异是,逻辑回归的样本只有 0 和 1 两种取值,转换为 log(odds) 正好是 -∞ 和 +∞,这样你使用 MSE 来拟合时,得到的 Loss 永远都是个无穷大,所以用线性回归的方法来拟合逻辑回归是不可行的。在逻辑回归中,我们使用 Maximu Likelihood 来作为模型的 Loss。

Maximum Likelihood

Maximum Likelihood(最大释然估计)也是很直观的一个概念,即我现在有一堆正样本和负样本,我用一条怎样的逻辑回归曲线去拟合这些样本,能使它们所得到概率的乘积最大。

举个例子,假设下图左边是一个关于体重和肥胖的实验数据,其中绿色点标记的是正常,而红色点为肥胖,现在要使用逻辑回归对这些样本建模,假设最佳模型如下图右边所示:

通过该模型的计算,假设绿色样本对应的肥胖的概率由左至右分别为 0.01、0.02、0.03 和 0.9,绿色是正常样本,需要计算他们不是肥胖的概率,所以要用 1 减去这些值,即: 0.99、0.98、0.97 和 0.1;同理,再分别计算红色样本是肥胖的概率为 0.1、0.97、0.98 和 0.99,因为该曲线已经是最优的了,所以这 8 个点所对应的概率的乘积——0.0089,即是所有可能的模型中,能得到的最大值。可见,Maximum Likelihood 真的就只是其字面意思了。

线性回归中,我们使用 MSE 来衡量线性模型的好坏,MSE 越小,说明拟合得越好;而在逻辑回归中,使用的正是 Maximum Likelihood,该指标越大,模型越好。

对于样本 x_i,当它为正样本时,对应的概率为 p(x_i),而当它为负样本时,对应的概率为 1-p(x_i),为方便计算,我们需要只用一个式子来表示这两种情况:

p_i = y_i\cdot p(x_i) + (1-y_i)\cdot (1-p(x_i))

这里 y 表示样本的取值,因为 y 只有两种取值,0 和 1,当 y 为正样本 1 时,带入上式得 p_i=p(x_i),而当 y 为负样本 0 时,带入上式得 p_i=1-p(x_i),于是每个样本的概率的表现形式得到了统一,这样总的 Likelihood 就很好表示了:

\begin{aligned}
{\arg\max} L(\theta) &= \prod_{i=1}^{n}p_i \\
&= \prod_{i=1}^{n}[y_i\cdot p(x_i) + (1-y_i)\cdot (1-p(x_i))]
\end{aligned}

上式中,n 表示有 n 条样本,下标 i 表示第 i 条样本,x 为特征向量,y 为观察到的目标值,\theta 为特征向量的权重,也是模型的参数,L 即为所有样本的 Likelihood,也是逻辑回归中的 Loss 函数,我们的目标是调整 \theta, 以使 L 最大。

通常我们会把连乘通过 log 转换为求和,并取负号,把求最大值转换为求最小值,如下:

\begin{aligned}
\arg\min (-\log(L(\theta))) &= -\sum_{i=1}^{n}\log(p_i) \\
&= -\sum_{i=1}^{n}[y_i\cdot \log(p(x_i)) + (1-y_i)\cdot \log((1-p(x_i)))]
\end{aligned}

接下来就是对 Loss 求梯度了,然后根据梯度来修改参数,并不断迭代收敛的过程,为了减少大家阅读时的不适感,这里就不继续推导了, 不过没有推导过的同学,还是建议自己在草稿上演算一下,可加深自己的理解。

逻辑回归和贝叶斯分类

贝叶斯分类的核心依然来自于经典的贝叶斯公式:

p(c|x) = \frac{p(x|c)p(c)}{p(x|c)p(c)+p(x|\bar{c})p(\bar{c})}

在分类问题中,我们要求的实际上是当样本 x 出现时,它属于分类 c 的概率,即上式的 p(c|x)。等式右边的 \bar{c} 表示为 c 之外的其他分类,p(c) 和 p(\bar{c}) 可以理解为先验概率,一般情况下你可以把它们设置为均等的,如我们可以把二分类的先验概率都设为 0.5。

接着,p(x|c) 可表示为在 c 分类中观察到 x 样本出现的概率,同理,p(x|\bar{c}) 则为在 \bar{c} 分类中观察到 x 样本出现的概率。于是,p(c|x) 就是一个后验概率。

理解了贝叶斯分类后,我们把等式右边的分子分母同时除以 p(x|c)p(c),如下:

p(c|x) = \frac{1}{1+\frac{p(x|\bar{c})p(\bar{c})}{p(x|c)p(c)}}

到此,这个式子是不是像极了 sigmoid 函数,我们设:

e^{-z} = \frac{p(x|\bar{c})p(\bar{c})}{p(x|c)p(c)}

再设先验概率相等,同时在等式两边取 log,便得到:

-z = \log(\frac{p(x|\bar{c})}{p(x|c)})

将负号移到右边:

z=\log(\frac{p(x|c)}{p(x|\bar{c})}) = \log(odds)

最后将 z 带回原式:

p(c|x) = \frac{1}{1+e^{-\log(odds)}}

结论是,逻辑回归实际上就是贝叶斯分类,它们都是一个后验概率模型。

总结

本文我们主要通过 log(odds) 和贝叶斯分类这两个概念来学习了逻辑回归算法的原理,且了解了逻辑回归是采用 Maximum Likelihood 来作为其损失函数的,希望你和我一样,通过本文能够对逻辑回归有更深刻的理解。

参考:

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