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线性代数精华——讲透矩阵的初等变换与矩阵的秩

本文始发于公众号:TechFlow

矩阵的初等变换这个概念可能在很多人听来有些陌生,但其实我们早在初中的解多元方程组的时候就用过它。只不过在课本当中,这种方法叫做消元法。我们先来看一个课本里的例子:

\begin{cases}
2x_1-x_2-x_3+x_4=2, & {(1)} \\
x_1+x_2-2x_3+x_4=4, & {(2)}\\
4x_1-6x_2+2x_3-2x_4=4, & {(3)}\\
3x_1+6x_2-9x_3+7x_4=9. & {(4)}
\end{cases}

假设我们要解这个方程,怎么做呢?

首先,我们把(1)式加到(2)式,把(4)式加到(3)式,把(1)式乘6加到(4)式可以得到:

\begin{cases}
2x_1-x_2-x_3+x_4&=2, & {(1)} \\
\quad 3x_1-3x_3+2x_4&=6, & {(2)}\\
\quad 7x_1-7x_3+5x_4&=13, & {(3)}\\
15x_1-15x_3+13x_4&=21. & {(4)}
\end{cases}

我们再把(4)式减去(2)式乘5,可以解出x_4=-3

\begin{cases}
2x_1-x_2-x_3+x_4&=2, & {(1)} \\
\quad 3x_1-3x_3+2x_4&=6, & {(2)}\\
\quad 7x_1-7x_3+5x_4&=13, & {(3)}\\
\qquad\qquad\qquad3x_4&=-9. & {(4)}
\end{cases}

我们把x_4=-3带入,可以解出x_1, x_2,x_3

\begin{cases}
x_1=x_3+4 \\
x_2=x_3+3\\
x_4=-3\\
\end{cases}

因为消元之后,方程组的数量少于变量的数量,我们无法解出所有的变量。其中的x_3可以取任何值。

上面这个计算的方法我们都非常熟悉,如果我们用一个矩阵来表示所有的次数,那么这个矩阵D可以写成:

D=\left[
\begin{matrix}
2 & -1 & -1 & 1 & 2\\
1 & 1 & -2 & 1 & 4\\
4 & -6 & 2 & -2 & 4\\
3 & 6 & -9 & 7 & 9
\end{matrix}
\right]

那么,我们刚才消元的过程,其实就是对这个矩阵做初等变换。我们把这个过程总结一下,矩阵的初等变换操作包含以下三种:

  1. 对调两行
  2. 以数k, k\neq0乘上某行的所有元素
  3. 以数k, k\neq0乘上某行所有元素并加到另一行

以上的三种都是针对行为单位的,因此上面的三种变换也称为“行变换”。同样我们也可以对列做如上的三种操作,称为“列变换”。行变换和列变换结合就是矩阵的初等变换。

同样,我们可以对D这个矩阵使用刚才我们上述的初等变换操作,将它变成如下这个结果:

D_t=\left[
\begin{matrix}
1 & 0 & -1 & 0 & 4\\
0 & 1 & -1 & 0 & 3\\
0 & 0 & 0 & 1 & -3\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{matrix}
\right]

它就对应方程组:

\begin{cases}
x_1-x_3&=4 \\
x_2-x_3&=3\\
x_4&=-3\\
\end{cases}

D_t矩阵是经过初等行变换的结果,我们还可以再对它进行列变换,将它变得更简单,我们只要交换第三和第三列,之后就可以通过初等列变换把第五列消除,之后它就变成了下面这个样子:

D_f=\left[
\begin{matrix}
1 & 0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{matrix}
\right]

我们用数据归纳法可以很容易证明,所有的m*n的矩阵经过一系列初等变换,都可以变成如下的形式:

F=\left|
\begin{matrix}
I_r & O\\
O & O
\end{matrix}
\right|

r就是最简矩阵当中非零行的行数,它也被称为矩阵的秩。我们把A矩阵的秩记作: R(A)

之前我们在介绍行列式的时候说过,行列式还存在多种性质。其中之一就是一个矩阵经过初等变换,它的行列式保持不变。我们又知道,如果行列式当中存在某一行或者某一列全部为0,那么它的行列式为0。

所以,我们可以得到,对于n阶矩阵A而言,如果它的秩R(A)<n,那么|A|=0

再根据我们前文当中有关可逆矩阵的定义,可以得到,可逆矩阵的秩就等于矩阵的阶数,不可逆矩阵的秩小于矩阵的阶数。所以,可逆矩阵又称为满秩矩阵,不可逆矩阵(奇异矩阵)又称为降秩矩阵。

之前我们在复习行列式以及逆矩阵的时候,总觉得少了些什么,现在有了矩阵的秩的概念之后,这些知识就能串起来了。

代码计算

同样,numpy当中也继承了计算矩阵秩的工具。我们可以很轻松的用一行代码算出矩阵的秩,这样我们在判断矩阵是否可逆的时候,就不需要通过行列式来判断了。因为矩阵秩的计算要比行列式的计算快得多。

import numpy as np
np.linalg.matrix_rank(a)
复制代码

有了矩阵秩的概念之后,我们后续的很多内容介绍起来都方便了许多,它也是矩阵领域当中非常重要的概念之一。

线性方程组的解

我们理解了矩阵的秩的概念之后,我们现学现用,看看它在线性方程组上的应用。

我们之前在介绍行列式的时候,曾经介绍过n元n个等式的方程组的解,可以用行列式表示。但是现实当中我们遇见的方程组并不一定是n元n等式的,我们推广到一般的情况来看。假设当下有一个n元m个等式的方程组:

\begin{cases}
a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + ... + a_{1n}x_n = b_1 \\
a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + ... + a_{2n}x_n = b_2 \\
......\\
a_{n1}x_1 + a_{n2}x_2 + ... + a_{mn}x_n = b_m
\end{cases}

我们可以将它写成矩阵相乘的形式:

Ax=b

其中A是一个m*n的矩阵,x=\left[
\begin{matrix}
x_1 \\
x_2 \\
\vdots \\
x_n
\end{matrix}
\right] b=\left[
\begin{matrix}
b_1 \\
b_2 \\
\vdots \\
b_n
\end{matrix}
\right]

我们利用系数矩阵A和增广矩阵B=(A, b)的秩,可以和方便地看出线性方程组是否有解。我们先来看结论:

  1. 当R(A) < R(B)时无解
  2. 当R(A) = R(B) = n时,有唯一解
  3. 当R(A) = R(B) < n时,有无数解

证明的过程也很简单,主要就是利用矩阵秩和最简矩阵的定义。

我们假设R(A)=r,并将B矩阵化简成最简形式,假设得到的结果是:

B_f=\left[
\begin{matrix}
1 & 0 & \cdots & 0 & b_{11} & \cdots & b_{1, n-r} & d_1 \\
0 & 1 & \cdots & 0 & b_{21} & \cdots & b_{2, n-r} & d_2 \\
\vdots & \vdots & & \vdots & \vdots &  & \vdots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & 1 & b_{r1} & \cdots & b_{r, n-r} & d_r \\
0 & 0 & & 0 & 0 &  & 0 & d_{r+1} \\
0 & 0 & & 0 & 0 &  & 0 & 0 \\
\vdots & \vdots & & \vdots & \vdots &  & \vdots & \vdots \\
0 & 0 & & 0 & 0 &  & 0 & 0
\end{matrix}
\right]

(1) 显然,当R(A) < R(B)时,那么矩阵B_f中的d_{r+1}=1,那么第r + 1行对应的方程0 = 1矛盾,所以方程无解。

(2) 如果R(A) = R(B) = r = n,那么矩阵B_f中的d_{r+1}=0,并且b_{ij}都不出现,所以我们可以直接写出方程组的解:

\begin{cases}
x_1 = d_1 \\
x_2 = d_2 \\
......\\
x_n = d_n
\end{cases}

此时,方程组有唯一解

(3) 如果R(A) = R(B) = r < n,则B中的d_{r+1}=0,我们写出对应的解:

\begin{cases}
x_1 = -b_{11}x_{r+1} -  \cdots -b_{1,n-r}x_n + d_1\\
x_2 = -b_{21}x_{r+1} - \cdots - b_{2,n-r}x_n + d_2 \\
......\\
x_r = -b_{r1}x_{r+1} - \cdots - b_{r,n-r}x_n + d_r
\end{cases}

我们令x_{r+1}=c_1, x_{r+2} = c_2, \cdots , x_n=c_{n-r},带入,得:

X=\left[
\begin{matrix}
x_1 \\
x_2 \\
\vdots \\
x_r\\
x_{r+1} \\
\vdots \\
x_n
\end{matrix}
\right]
=\left[
\begin{matrix}
-b_{11}c_1-\cdots-b_{1,n-r}c_{n-r}+d_1\\
\vdots \\
-b_{r1}c_1-\cdots-b_{r,n-r}c_{n-r}+d_r\\
c_1\\
\vdots\\
c_{n-r}
\end{matrix}
\right]

由于参数c_1, \cdots , c_{n-r}可以取任意值,所以方程有无数解。上面写出的解的形式即是线性方程组的通解。

齐次线性方程组

如果我们将上面的线性方程组的常数项都置为0,就称为齐次线性方程组,如下:

\begin{cases}
a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + ... + a_{1n}x_n = 0 \\
a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + ... + a_{2n}x_n = 0 \\
......\\
a_{n1}x_1 + a_{n2}x_2 + ... + a_{mn}x_n = 0
\end{cases}

齐次方程组最大的特点就是当x_n=0时一定有解,称为方程组的零解。我们还通过增广矩阵来判断,写出来其实还是刚才一样的形式:

B_f=\left[
\begin{matrix}
1 & 0 & \cdots & 0 & b_{11} & \cdots & b_{1, n-r} & d_1 \\
0 & 1 & \cdots & 0 & b_{21} & \cdots & b_{2, n-r} & d_2 \\
\vdots & \vdots & & \vdots & \vdots &  & \vdots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & 1 & b_{r1} & \cdots & b_{r, n-r} & d_r \\
0 & 0 & & 0 & 0 &  & 0 & d_{r+1} \\
0 & 0 & & 0 & 0 &  & 0 & 0 \\
\vdots & \vdots & & \vdots & \vdots &  & \vdots & \vdots \\
0 & 0 & & 0 & 0 &  & 0 & 0
\end{matrix}
\right]

和非齐次线性方程组不同的是,我们可以断定d_{r+1}=0,如此一来就不存在无解的情况。这个时候我们要判断的就是方程组是否存在非零解,我们一样通过矩阵的秩来判断,判断的条件也很简单,如果R(A) = n,则不存在非零解,如果R(A) < n,则存在无数组非零解。我们先写出R(A) = n的情况,这时候的矩阵B_f为:

B_f=\left[
\begin{matrix}
1 & 0 & \cdots & 0 & d_1\\
0 & 1 & \cdots & 0 & d_2 \\
\vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & 1  & d_n \\
0 & 0 & & 0 & 0
\end{matrix}
\right]

也就是说:

X=\left[
\begin{matrix}
x_1 \\
x_2 \\
\vdots \\
x_n
\end{matrix}
\right]
=\left[
\begin{matrix}
d_1\\
d_2\\
\vdots\\
d_n
\end{matrix}
\right]

由于d_i=0, i=0,1,...,n,所以唯一解为x_i=0, i=0,1,...n。当R(A) < n时方程组和非齐次方程组类似,唯一不同的是可以确定d_i, i=0,1,...,n,我们直接带入之前的通项公式,可以得到:

X=\left[
\begin{matrix}
x_1 \\
x_2 \\
\vdots \\
x_r\\
x_{r+1} \\
\vdots \\
x_n
\end{matrix}
\right]
=\left[
\begin{matrix}
-b_{11}c_1-\cdots-b_{1,n-r}c_{n-r}\\
\vdots \\
-b_{r1}c_1-\cdots-b_{r,n-r}c_{n-r}\\
c_1\\
\vdots\\
c_{n-r}
\end{matrix}
\right]

线性方程组的解的公式和计算本身其实并不重要。因为在实际的算法领域,用到的也不多。但是理解线性方程组对于理解后面的向量以及线性空间非常有帮助,文中的公式看着恐怖,但冷静下来真的去试着理解一下,会发现也就那么回事。

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