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一文读懂神经网络

要说近几年最引人注目的技术,无疑的,非人工智能莫属。无论你是否身处科技互联网行业,随处可见人工智能的身影:从 AlphaGo 击败世界围棋冠军,到无人驾驶概念的兴起,再到科技巨头 All in AI,以及各大高校向社会输送海量的人工智能专业的毕业生。以至于人们开始萌生一个想法:新的革命就要来了,我们的世界将再次发生一次巨变;而后开始焦虑:我的工作是否会被机器取代?我该如何才能抓住这次革命?

人工智能背后的核心技术是深度神经网络(Deep Neural Network),大概是一年前这个时候,我正在回老家的高铁上学习 3Blue1Brown 的 Neural Network 系列视频课程,短短 4 集 60 多分钟的时间,就把神经网络从 High Level 到推导细节说得清清楚楚,当时的我除了获得新知的兴奋之外,还有一点新的认知,算是给头脑中的革命性的技术泼了盆冷水:神经网络可以解决一些复杂的、以前很难通过写程序来完成的任务——例如图像、语音识别等,但它的实现机制告诉我,神经网络依然没有达到生物级别的智能,短期内期待它来取代人也是不可能的。

一年后的今天,依然在这个春运的时间点,将我对神经网络的理解写下来,算是对这部分知识的一个学习笔记,运气好的话,还可以让不了解神经网络的同学了解起来。

什么是神经网络

维基百科这样解释神经网络

现代神经网络是一种非线性统计性数据建模工具,神经网络通常是通过一个基于数学统计学类型的学习方法(Learning Method)得以优化,所以也是数学统计学方法的一种实际应用。

这个定义比较宽泛,你甚至还可以用它来定义其它的机器学习算法,例如之前我们一起学习的逻辑回归和 GBDT 决策树。下面我们具体一点,下图是一个逻辑回归的示意图:

其中 x1 和 x2 表示输入,w1 和 w2 是模型的参数,z 是一个线性函数:

z = w_1x_1 + w_2x_2 + b

接着我们对 z 做一个 sigmod 变换(图中蓝色圆),得到输出 y:

y = \sigma(z)

其实,上面的逻辑回归就可以看成是一个只有 1 层输入层, 1 层输出层的神经网络,图中容纳数字的圈儿被称作神经元;其中,层与层之间的连接 w1、w2 以及 b,是这个神经网络的参数,层之间如果每个神经元之间都保持着连接,这样的层被称为全连接层(Full Connection Layer),或稠密层(Dense Layer);此外,sigmoid 函数又被称作激活函数(Activation Function),除了 sigmoid 外,常用的激活函数还有 ReLU、tanh 函数等,这些函数都起到将线性函数进行非线性变换的作用。我们还剩下一个重要的概念:隐藏层,它需要把 2 个以上的逻辑回归叠加起来加以说明:

如上图所示,除输入层和输出层以外,其他的层都叫做隐藏层。如果我们多叠加几层,这个神经网络又可以被称作深度神经网络(Deep Neural Network),有同学可能会问多少层才算“深”呢?这个没有绝对的定论,个人认为 3 层以上就算吧:)

以上,便是神经网络,以及神经网络中包含的概念,可见,神经网络并不特别,广义上讲,它就是

一个非线性函数,或把几个非线性函数的输入输出接起来,形成一个更大的非线性函数。

可见,神经网络和人脑神经也没有任何关联,如果我们说起它的另一个名字——多层感知机(Mutilayer Perceptron),就更不会觉得有多么玄乎了,多层感知机创造于 80 年代,可为什么直到 30 年后的今天才爆发呢?你想得没错,因为改了个名字……开个玩笑;实际上深度学习这项技术也经历过很长一段时间的黑暗低谷期,直到人们开始利用 GPU 来极大的提升训练模型的速度,以及几个标志性的事件:如 AlphaGo战胜李世石、Google 开源 TensorFlow 框架等等,感兴趣的同学可以翻一下这里的历史。

为什么需要神经网络

就拿上图中的 3 个逻辑回归组成的神经网络作为例子,它和普通的逻辑回归比起来,有什么优势呢?我们先来看下单逻辑回归有什么劣势,对于某些情况来说,逻辑回归可能永远无法使其分类,如下面数据:

label x1 x2
class 1 0 0
class 1 1 1
class 2 0 1
class 2 1 0

这 4 个样本画在坐标系中如下图所示

因为逻辑回归的决策边界(Decision Boundary)是一条直线,所以上图中的两个分类,无论你怎么做,都无法找到一条直线将它们分开,但如果借助神经网络,就可以做到这一点。

由 3 个逻辑回归组成的网络(这里先忽略 bias)如下:

观察整个网络的计算过程,在进入输出层之前,该网络所做的计算实际上是:

\left[\begin{matrix}x_1'\\ x_2'\end{matrix}\right]
= \sigma(
\left[
\begin{matrix}
w_{11}\quad w_{12}\\
w_{21}\quad w_{22}
\end{matrix}\right]
\left[
\begin{matrix}
x_1\\x_2
\end{matrix}
\right])

即把输入先做了一次线性变换(Linear Transformation),得到 [z1, z2],再把 [z1, z2] 做了一个非线性变换(sigmoid),得到 [x1', x2'],(线性变换的概念可以参考这个视频)。从这里开始,后面的操作就和一个普通的逻辑回归没有任何差别了,所以它们的差异在于:我们的数据在输入到模型之前,先做了一层特征变换处理(Feature Transformation,有时又叫做特征抽取 Feature Extraction),使之前不可能被分类的数据变得可以分类了

我们继续来看下特征变换的效果,假设 \left[\begin{matrix}w_{11}\quad w_{12}\\w_{21} \quad w_{22}\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}1\qquad 1\\-0.5 -0.5\end{matrix}\right],带入上述公式,算出 4 个样本对应的 [x1', x2'] 如下:

label x1 x2 x1' x2'
class 1 0 0 0.5 0.5
class 1 1 1 0.88 0.27
class 2 0 1 0.73 0.38
class 2 1 0 0.73 0.38

再将变换后的 4 个点绘制在坐标系中:

显然,在做了特征变换之后,这两个分类就可以很容易的被一条决策边界分开了。

所以,神经网络的优势在于,它可以帮助我们自动的完成特征变换或特征提取,尤其对于声音、图像等复杂问题,因为在面对这些问题时,人们很难清晰明确的告诉你,哪些特征是有用的。

在解决特征变换的同时,神经网络也引入了新的问题,就是我们需要设计各式各样的网络结构来针对性的应对不同的场景,例如使用卷积神经网络(CNN)来处理图像、使用长短期记忆网络(LSTM)来处理序列问题、使用生成式对抗网络(GAN)来写诗和作图等,就连去年自然语言处理(NLP)中取得突破性进展的 Transformer/Bert 也是一种特定的网络结构。所以,学好神经网络,对理解其他更高级的网络结构也是有帮助的

神经网络是如何工作的

上面说了,神经网络可以看作一个非线性函数,该函数的参数是连接神经元的所有的 Weights 和 Biases,该函数可以简写为 f(W, B),以手写数字识别的任务作为例子:识别 MNIST 数据集中的数字,数据集(MNIST 数据集是深度学习中的 HelloWorld)包含上万张不同的人写的数字图片,共有 0-9 十种数字,每张图片为 28*28=784 个像素,我们设计一个这样的网络来完成该任务:

  • 输入层可容纳一张图片的所有像素,总共有 784 个神经元

  • 使用 1 个隐藏层,含有 16 个神经元,那么

    • 输入层到隐藏层的参数个数为 784*16=12544,Bias 的个数为 16
  • 输出层为 10 个神经元,分别表示 0-9 这十种情况

    • 隐藏层到输出层的参数个数为 16*10=160,Bias 个数为 10
  • 总的 Weights 和 Biases 加起来有 12544+16+160+10 = 12730

把该网络函数所具备的属性补齐:

参数:12730 个 Weights 和 Biases
输入:一张 28*28 的手写数字图片
输出:0-9 这 10 个数的可能性
复制代码

接下来的问题是,这个函数是如何产生的?这个问题本质上问的是这些参数的值是怎么确定的。

在机器学习中,有另一个函数 c 来衡量 f 的好坏,c 的参数是一堆数据集,你输入给 c 一批 Weights 和 Biases,c 输出 Bad 或 Good,当结果是 Bad 时,你需要继续调整 f 的 Weights 和 Biases,再次输入给 c,如此往复,直到 c 给出 Good 为止,这个 c 就是损失函数 Cost Function(或 Loss Function)。在手写数字识别的列子中,c 可以描述如下:

参数:上万张手写数字图片
输入:f 的 Weights 和 Biases
输出:一个数字,衡量分类任务的好坏,该数越小越好
复制代码

可见,要完成手写数字识别任务,只需要调整这 12730 个参数,让损失函数输出一个足够小的值即可,推而广之,绝大部分神经网络、机器学习的问题,都可以看成是定义损失函数、以及参数调优的问题。

在手写识别任务中,我们既可以使用交叉熵(Cross Entropy)损失函数,也可以使用 MSE(Mean Squared Error)作为损失函数,接下来,就剩下如何调优参数了。

神经网络的参数调优也没有使用特别的技术,依然是大家刚接触机器学习,就学到的梯度下降算法,梯度下降解决了上面迭代过程中的遗留问题——当损失函数给出 Bad 结果时,如何调整参数,能让 Loss 减少得最快。

梯度可以理解为:

考虑一座山,山上的点 (x,y) 的高度用 H(x,y) 表示。这一点的梯度是在该点坡度(或者说斜度)最陡的方向。梯度的大小告诉我们坡度到底有多陡。——wiki/梯度

把 Loss 对应到 H,12730 个参数对应到 (x,y),则 Loss 对所有参数的梯度可以表示为下面向量,该向量的长度为 12730:

\nabla L(w,b) = \left[

\frac{\partial L}{\partial w_1},
\frac{\partial L}{\partial w_2},...,
\frac{\partial L}{\partial b_{26}}

\right] ^\top

所以,每次迭代过程可以概括为

  1. 向损失函数中输入模型参数
  2. 通过模型参数,结合上万条样本,计算 Loss
  3. 根据 Loss 来计算所有这些参数的梯度
  4. 根据梯度来调整参数

用梯度来调整参数的式子如下(为了简化,这里省略了 bias):

w = w - \eta \nabla L(w)

上式中,\eta 是学习率,意为每次朝下降最快的方向前进一小步,避免优化过头(Overshoot)。

由于神经网络参数繁多,所以需要更高效的计算梯度的算法,于是,反向传播算法(Backpropagation)呼之欲出。

反向传播算法

在学习反向传播算法之前,我们先复习一下微积分中的链式法则(Chain Rule):设 g = u(h)h = f(x) 是两个可导函数,x 的一个很小的变化 △x 会使 h 产生一个很小的变化 △h,从而 g 也产生一个较小的变化 △g,现要求 △g/△x,可以使用链式法则:

\frac{dg}{dx} = \frac{dg}{dh}\frac{dh}{dx}

有了以上基础,理解反向传播算法就简单了。

假设我们的演示网络只有 2 层,输入输出都只有 2 个神经元,如下图所示:

其中 [x_1, x_2] 是输入,[a_1^{(2)}, a_2^{(2)}] 是输出,[y_1,y_2] 是样本的目标值,这里使用的损失函数 L 为 MSE;图中的上标 (1) 或 (2) 分别表示参数属于第 (1) 层或第 (2) 层,下标 1 或 2 分别表示该层的第 1 或 第 2 个神经元。

现在我们来计算 \partial L/\partial w^{(2)}_1\partial L/\partial w^{(1)}_1,掌握了这 2 个参数的偏导数计算之后,整个梯度的计算就掌握了。

所谓反向传播算法,指的是从右向左来计算每个参数的偏导数,先计算 \partial L/\partial w^{(2)}_1 ,根据链式法则

\frac{\partial L}{\partial w^{(2)}_1} = 
\frac{\partial L}{\partial z^{(2)}_1}
\frac{\partial z^{(2)}_1}{\partial w^{(2)}_1}

对左边项用链式法则展开

\frac{\partial L}{\partial z^{(2)}_1} = \frac{\partial L}{\partial a^{(2)}_1} \frac{\partial{a^{(2)}_1}}{\partial z^{(2)}_1}

a^{(2)}_1 是输出值,\partial L/\partial a^{(2)}_1 可以直接通过 MSE 的导数算出:

\frac{\partial L}{\partial a^{(2)}_1} = a^{(2)}_1 - y_1

a_1^{(2)} = \sigma (z^{(2)}_1),则 \partial a^{(2)}_1/\partial z^{(2)}_1 就是 sigmoid 函数的导数在 z^{(2)}_1 处的值,即

\frac{\partial a^{(2)}_1}{\partial z^{(2)}_1} = \sigma'(z_1^{(2)})

于是 \partial L/\partial z^{(2)}_1 就算出来了:

\frac{\partial L}{\partial z^{(2)}_1} = \sigma'(z_1^{(2)})(a^{(2)}_1 - y_1)

再来看 \partial z^{(2)}_1 / \partial w^{(2)}_1 这一项,因为

z^{(2)}_1 = w_1^{(2)}a^{(1)}_1 + ... + b^{(2)}_1

所以

\frac{\partial z^{(2)}_1}{\partial w^{(2)}_1} = a^{(1)}_1

注意:上面式子对于所有的 z_iw_j 都成立,且结果非常直观,即 z_iw_j 的偏导为左边的输入 a_j 的大小;同时,这里还隐含着另一层意思:需要调整哪个 w_j 来影响 z_i,才能使 Loss 下降得最快,从该式子可以看出,当然是先调整较大的 a_j 值所对应的 w_j,效果才最显著

于是,最后一层参数 w_1^{(2)} 的偏导数就算出来了

\frac{\partial L}{\partial w^{(2)}_1} = a_1^{(1)}\sigma'(z_1^{(2)})(a^{(2)}_1 - y_1)

我们再来算上一层的 \partial L/ \partial w^{(1)}_1,根据链式法则 :

\frac{\partial L}{\partial w^{(1)}_1} = 
\frac{\partial L}{\partial z^{(1)}_1}
\frac{\partial z^{(1)}_1}{\partial w^{(1)}_1}

继续展开左边这一项

\frac{\partial L}{\partial z^{(1)}_1} = \frac{\partial L}{\partial a^{(1)}_1}
\frac{\partial a^{(1)}_1}{\partial z^{(1)}_1}

你发现没有,这几乎和计算最后一层一摸一样,但需要注意的是,这里的 a^{(1)}_1 对 Loss 造成的影响有多条路径,于是对于只有 2 个输出的本例来说:

\frac{\partial L}{\partial a^{(1)}_1} = \frac{\partial L}{\partial z^{(2)}_1}\frac{\partial z^{(2)}_1}{\partial a^{(1)}_1} + 
\frac{\partial L}{\partial z^{(2)}_2}\frac{\partial z^{(2)}_2}{\partial a^{(1)}_1}

上式中,\partial L/\partial z^{(2)} 都已经在最后一层算出,下面我们来看下 \partial z^{(2)}/\partial a^{(1)}_1,因为

z^{(2)}_1 = w_1^{(2)}a^{(1)}_1 + ... + b^{(2)}_1

于是

\frac{\partial z^{(2)}_1}{\partial a^{(1)}_1} = w^{(2)}_1

同理

\frac{\partial z^{(2)}_2}{\partial a^{(1)}_1} = w^{(2)}_2

注意:这里也引申出梯度下降的调参直觉:即要使 Loss 下降得最快,优先调整 weight 值比较大的 weight。

至此,\partial L/\partial w_1^{(1)} 也算出来了

\frac{\partial L}{\partial w^{(1)}_1} = x_1\sigma'(z^{(1)}_1)
(w^{(2)}_1 \frac{\partial L}{\partial z^{(2)}_1} + w^{(2)}_2\frac{\partial L}{\partial z^{(2)}_2})

观察上式,所谓每个参数的偏导数,通过反向传播算法,都可以转换成线性加权(Weighted Sum)计算,归纳如下:

\frac{\partial L}{\partial w^{(l)}_i} = a^{(l-1)}_i\sigma'(z^{(l)}_i)
\sum_{j=1}^{n}(w^{(l+1)}_j\frac{\partial L}{\partial z^{(l+1)}_j})

式子中 n 代表分类数,(l) 表示第 l 层,i 表示第 l 层的第 i 个神经元。既然反向传播就是一个线性加权,那整个神经网络就可以借助于 GPU 的矩阵并行计算了

最后,当你明白了神经网络的原理,是不是越发的认为,它就是在做一堆的微积分运算,当然,作为能证明一个人是否学过微积分,神经网络还是值得学一下的。Just kidding ..

小结

本文我们通过

  • 什么是神经网络
  • 为什么需要神经网络
  • 神经网络的工作原理
  • 反向传播算法

这四点,全面的学习了神经网络这个知识点,希望本文能给你带来帮助。

参考:

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