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数学的公理化及抽象化

高度分工

现如今社会进入了高度分工的阶段,人们干的事被越来越局限在某个领域,甚至是某个领域很小的范围内。人们受到的教育也越来越长,研究的问题也越来越细越来越深越来越抽象。现在要想诞生以前的全才几乎不太可能了,主要是因为以前很多方面学科都都还比较浅,很多现在看似很简单的成果都能载入史册。印象比较深的全才是冯诺依曼,想了解的可以看看天才的拓荒者。

社会分工

数学分支

在数学领域也是类似,从古代的计数算术简单几何开始,然后以微积分解析几何为基础的近代数学,再到以集合论和公理化为基础的现代数学。现在的数学有很多分支,整体结构庞杂,又深又抽象以至于很多理论对多数人来说已经无法理解。数学具有严谨的逻辑,但数学的发展不能一味的高深抽象,也应该让数学应用更广泛,现代数学也分为两大范畴,即纯粹的数学和应用数学。

数学分支

集合论

集合论由德国数学家康托尔创立,起初集合建立在数集和点集上,后来扩展到任何元素的集合,可以是函数集合或几何集合。由于它的抽象使得它能被用于数学其它分支中,也使得集合论成为数学的基础。集合是某些对象的总体,这些对象可以是有限的也可以是无限的。

集合

公理化

说到公理化最早是由古希腊数学家欧几里得发现并使用,比如众所周知的《几何原本》便是应用了公理化的方法,其中以五个公设和五个公理作为基础,提出了119个定义和465条命题及证明,由此建立起历史上第一个数学公理体系。当然欧几里得的公理体系并不完善,后面德国数学家希尔伯特重新定义了现代的公理化方法。也就是这个大名鼎鼎数学界被称为数学界的亚历山大,而且在1900年在国际数学家大会上提出了23个数学问题,为20世纪的数学发展指明了方向。

欧几里得几何原本

抽象化

先看抽象这个概念,它的英文单词为abstract,我们经常在论文开头看到这个词。所以抽象实际就是摘要,摘要做的事就是提炼出概要。而抽象则是从自然、世界、事物中提取出简洁准确的描述。以集合论为基础并且在公理化的方法下,数学也朝着更加抽象发展,比如实变函数论、泛函分析、拓扑学和抽象代数。

抽象

数学与物理

数学这个威力巨大的工具向物理学渗透,能使用数学来描述物理的原因是因为数学能简洁清晰地通过符号来表述物理规律。18世纪时主要是经典力学与数学的结合,19世纪数学则渗透入电磁学,而20世纪后数学则融入到相对论和量子力学中。爱因斯坦的狭义相对论通过数学找到了很完美的描述,物理理论的基本原理通过数学模型来表述逻辑结构。数学帮助物理形成统一体系,而反过来物理对数学工具的新需求也推动着数学的发展。

数学与物理

数学与计算机

计算机科学也一样,计算机的每次大发展都离不开数学,而计算机的不断发展也推进数学的研究。比如属于计算机科学分支之一的人工智能,尽管现在人工智能已经被炒作的大热,而且能在围棋方面打败人类,但人工智能还有很多数学问题没有解决,只有在数学领域有了理论突破才会有更本质的发展,而在这过程数学也得到了发展。数学家冯诺依曼提出了将程序存储的想法,以及并行处理和存储数据的理念,深深影响计算机科学的发展。数学家图灵提出的图灵计算机模型,以数理逻辑语言来设计计算机,将人们使用纸笔进行数学运算的过程进行抽象。他还最早研究了如何让计算机拥有思考能力,提出了著名人工智能领域的图灵测试。香农将布尔的逻辑运算引入计算机,以及他提出的信息论这些都与数学相关。

计算机

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