看完这篇让你高数不挂科之——泰勒公式

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今天的文章我们来讨论大名鼎鼎的泰勒公式，泰勒公式真的非常有名，我相信上过高数课的一定都记得它的大名。即使你翘掉了所有的课，也一定会在考前重点里见过。

我对它的第一映像就是比较难，而且感觉没有太多意思，就是一个近似的函数而已。最近重温了一下有了一些新的心得，希望尽我所能讲解清楚。

泰勒公式的用途

在看具体的公式和证明之前，我们先来了解一下它的用途，然后带着对用途的理解再去思考它出现的背景以及原理会容易许多。这也是我自学这么久总结出来的规律。

泰勒公式本质解决的是近似的问题，比如说我们有一个看起来很复杂的方程，我们直接计算方程本身的值可能非常麻烦。所以我们希望能够找到一个近似的方法来获得一个足够近似的值。

从这里，我们得到了两个重点，一个是近似的方法，另一个是近似的精度。我们既需要找到合适的方法来近似，同时也需要保证近似的精度是可控的。否则一切都没有意义，结合实际其实很好理解，比如我们用机床造一个零件。我们都知道世界上不存在完美的圆，实际上我们也并不需要完美，但是我们需要保证偏差是可控的，并且在一定的范围内。泰勒公式也是一样，它既可以帮助我们完成近似，也可以保证得到的结果是足够精确的。

泰勒公式的定义

我们下面来看看泰勒公式的定义，我们已经知道了它的用途是求一个函数的近似值。但是我们怎么来求呢，其实一个比较朴素的思路是通过斜率逼近。

举个例子：

这是一张经典的导数图，从上图我们可以看到，随着 $\Delta x$ 的减小，点 $P_0$ 和 $P$ 也会越来越接近，这就带来了 $\Delta y$ 越来越接近 $\Delta x \cdot f'(x_0)$ 。

当然，当 $\Delta x$ 比较大的时候显然误差就会比较大，为了缩小误差，我们可以引入二阶导数、三阶导数以及高阶导数。由于我们并不知道函数究竟可以有多少阶导数，我们不妨假设f(x)在区间内一直有(n+1)阶导数，我们试着写出一个多项式来逼近原函数：

P_n(x)=a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0)^2+\cdots+a_n(x-x_0)^n

我们希望这个式子与原值的误差越小越好，究竟要多小才算足够好呢？数学家们给出了定义，希望它是 $(x-x_0)^n$ 的高阶无穷小。也就是说误差比上 $(x-x_0)^n$ 的极限是0。

我们前面说了，我们是通过导数来逼近的，所以我们假设:

\begin{aligned}
P_n(x_0) &= f(x_0), P_n'(x_0) = f'(x_0) \\
P_n''(x_0) &= f''(x_0), \cdots, P_n^{(n)} = f^{(n)}(x_0)
\end{aligned}

按照这个假设我们可以很方便地得到系数了，其实很简单，我们构造系数使得求导之后相乘的常数项全部约掉。

\begin{aligned}
a_0 = f(x_0), 1\cdot a_1 = f'(x_0) \\
2!\cdot a_2 = f''(x_0), \cdots, n!\cdot a_n = f^n(x_0)
\end{aligned}

我们把这两个式子带入一下，可以得到：

P_n(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x - x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x - x_0)^2+\cdots+\frac{f^{(n)}}{n!}(x-x_0)^n

泰勒公式的证明

其实上面的式子就是泰勒公式的内涵了，也就是说我们通过高阶导数来逼近了原函数。最后我们只需要证明这个式子就是我们想要的，也就是它的误差足够小。

我们同样用一个函数 $R(x)$ 来表示 $P_n(x)$ 与原函数 $f(x)$ 的差值。我们直接比较比较困难，所以数学家采取了一系列花里胡哨、叹为观止的操作。

我们带入一下可以发现， $R(x_0)=0$ ，不仅如此， $R'(x_0)=R''(x_0)=\cdots=R^{(n)}(x_0)=0$ 。

以上步骤完全不需要证明，我们直接带入求导就可以得到。因为存在 $x-x_0$ 的项，很明显当 $x=x_0$ 的时候，可以得到如上的结论。

到这里，我们需要进行一个猜测，这里的步骤有一点跳跃。就连课本上都没有详细的解释，没有详细解释的原因也很简单，因为需要用到积分的知识。而读者在这里是还没有接触过积分的，不过，我们不是严谨的论文，可以稍稍放松一些。其实根据上面的公式，我们是可以有些猜测的。根据上面的规律，以及我们的目标——证明这个 $R(x)$ 函数是一个关于 $(x-x_0)^n$ 的无穷小，所以我们可以猜测它应该是一个与 $(x-x_0)^{n+1}$ 相关的函数。

有了这个猜测之后，我们套用一下柯西中值定理：

\frac{f(b) - f(a)}{F(b) - F(a)}=\frac{f'(\xi)}{F'(\xi)}

我们令 $f(x)=R_n(x), F(x)=(x-x_0)^{n+1}$ ，套用中值定理可以得到：

\frac{R_n(x)}{(x-x_0)^{n+1}}=\frac{R_n(x)-R_n(x_0)}{(x-x_0)^{n+1}-0}=\frac{R'_n(\xi_1)}{(n+1)(\xi_1-x_0)^n}, (\xi_1 \in (x_0, x))

有了这个结论之后，我们再对函数 $R_n'(x)$ 和 $(n+1)(x-x_0)^n$ 在区间 $(x_0, \xi_1)$ 上再次应用柯西中值定理：

\frac{R_n'(\xi_1)}{(\xi_1 - x_0)^n}=\frac{R'_n(\xi_1)-R_n'(x_0)}{(n+1)(\xi_1-x_0)^n-0}=\frac{R''_n(\xi_2)}{n(n+1)(\xi_2-x_0)^{n-1}}, (\xi_2 \in (x_0, \xi_1))

接下来就是熟悉的套娃环节了，经过一共n+1次套娃之后，我们可以得到：

\frac{R_n(x)}{(x-x_0)^{n+1}}=\frac{R^{(n+1)}_n(\xi)}{(n+1)!}, (\xi \in (x_0, \xi_n))

我们对 $P_n(x)$ 求n+1次导数，可以得到0，因为所有项最多只有n次，求n+1次导数之后全部变成0。也就是说 $P^{(n+1)}_n(x)=0$ ，所以 $R^{(n+1)}_n(x)=f^{(n+1)}_n(x)$ ，我们把这项代入上式，可以得到：

R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}, (\xi \in (x_0, x))

证明一下误差

接下来我们要证明这个误差 $R_n(x)$ 是 $(x-x_0)^{n+1}$ 的高阶无穷小。

到这里，证明就很简单了，在固定的区间(a, b)中，很明显函数 $f^{(n+1)}(x)$ 存在最大值，我们假设这个最大值是M。也就是说 $f^{(n+1)}(x) \leq M, x \in (a, b)$

那么：

\lim_{x\to x_0}\frac{R_n(x)}{(x-x_0)^n} \leq \lim_{x\to x_0} \frac{\frac{M(x-x_0)^{n+1}}{(n+1)!}}{(x-x_0)^n}=\lim_{x\to x_0}\frac{M(x-x_0)}{(n+1)!}

由于x逼近 $x_0$ ，M是一个常数，所以这个极限趋向于0，我们可以用极限的定义很容易证明。于是我们证明了，误差 $R_n(x)$ 是比 $(x-x_0)^n$ 更高阶的无穷小。

所以我们可以得到：

f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x - x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x - x_0)^2+\cdots+\frac{f^{(n)}}{n!}(x-x_0)^n+R_n(x)

由于我们一共用到了n阶导数来表达原函数，所以我们称为这是原函数f(x)的n阶泰勒展开。最后的 $R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}, (\xi \in (x_0, x))$ ，我们称它为拉格朗日余项。我们也可以简写为 $o[(x-x_0)^n]$ ，它称为佩亚诺型余项，其实和拉格朗日余项是一回事，只是写的形式不同。

我们如果令 $x_0=0$ 的话，还可以将式子进一步化简。由于 $\xi$ 在0和x中间，所以我们可以令 $\xi=\theta x, (0 < \theta < 1)$ ，原公式可以写成：

f(x)=f(0)+f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2+\cdots + \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n+\frac{f^{(n+1)}(\theta x)}{(n+1)!}x^{n+1}, (0 < \theta < 1)

和上面的式子相比，这个式子要简单许多，它也有一个名字，叫做麦克劳林公式。在麦克劳林公式下的佩亚诺余项写成 $o(x^n)$ ，看起来非常简单。

如果觉得上面的式子有点多记不过来可以忽略原式，只需要记住麦克劳林公式即可。对于拉格朗日余项，我们也只会在计算误差的时候用到，在不需要考虑误差的场景下也可以忽略。

举例

下面我们来看一个实际的例子，来感受一下泰勒公式的强大。

我们都知道有一些函数的值我们很难直接计算，比如 $f(x)=e^x$ ，和正弦余弦函数等。由于e本身就是一个无理数，有没有想过我们怎么来求一个带e的函数值？其实很多时候，就是用的泰勒公式。

我们就用 $f(x)=e^x$ 举例，看看怎么利用泰勒公式来计算 $e^x$ 。

为了简化计算，我们显然考虑麦克劳林公式。由于 $x=0$ 时， $e^x=0$ ，并且 $f'(x)=e^x$ 。

所以我们可以得到：

f'(0)=f''(0)=f'''(0)=\cdots =f^{(n)}(0)=1

我们代入泰勒公式，可以得到：

e^x=1 + x + \frac{1}{2!}x^2+\frac{1}{3!}x^3+\cdots+\frac{1}{n!}x^n+\frac{e^{\theta x}}{(n+1)!}x^{n+1}

我们如果把最后一项当成误差，那么可以得到：

e^x\approx 1 + x + \frac{1}{2!}x^2+\frac{1}{3!}x^3+\cdots+\frac{1}{n!}x^n

当n=10时，x=1，产生的误差为：

\frac{e^{\theta x}}{(n+1)!}x^{n+1}\leq \frac{e}{11!}<\frac{3}{11!}

我们稍微算一下就可以知道，这个误差小于 $10^{-6}$ ，已经足够接近了。也就是说我们把原本不太好计算的函数转化成了若干个多项式的和，可以非常简单地获得一个足够接近的近似值。并且除此之外，我们还能算出它的最大误差，实在是非常完美了。

思考

到这里还没有结束，看完所有的推导和计算之后，不知道你们有没有一个疑惑，这么一个牛叉并且复杂并且有用的公式，泰勒是怎么灵光一闪想到的？好像用一时的灵感很难解释。毕竟人的灵感往往都是一瞬间对某个点的顿悟，而这么多公式和结论是很难顿悟的。

之前上学的时候我完全没有意识到这个问题，这次重温的时候才觉得不对。当然你可能会说这里有这么多数学家的名字，显然不是一个人的功劳。但即使是这样，我仍然好奇，究竟是什么起因引出了这么伟大的公式？

直到我无意间看到知乎撒欢大神的回答才恍然大悟。

我们设想一个问题，如果f(x)=g(x)，那么显然f(x)和g(x)的各阶导数全都相等。那么问题来了，如果我们人为地构造一个函数h(x)，使得它的各阶导数和g(x)吻合，那么是不是可以认为这个我们人为构造出来的函数也和g(x)相等呢？

然而有些函数的高阶导数是无穷无尽的，我们不可能人工全部拟合，所以只能退而求其次，拟合其中的n项。显然这样会有误差，那么我们需要知道误差的大小。于是就有了后面的拉格朗日余项大小的推算。

泰勒公式的出现和推导过程正是基于这样的思路，想到这里，我又有了新的想法。如果把各阶导数的项看成是特征，那么这个问题其实转化成了机器学习当中的回归问题，只不过在机器学习当中我们是设定优化目标和优化方法，让模型自行训练来拟合逼近，而泰勒公式其实是通过思维和数学的力量推算出了结果，两者的目的和结果是一样的，但是过程完全迥异，两个看似完全风马牛不相及的问题殊途同归，不得不说数学的魅力真的令人折服。

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