超详细白板推导：从模型和优化 2 个角度详解 SVM 核函数

在 SVM 白板推导| 由最大间隔化目标演化的损失函数推导过程中白板手推了 SVM 的原理，并介绍了硬间隔核函数的实现原理及公式推导，这一节我来详细介绍下 SVM 中的 Keynel Function。

一直以来我们只知道核函数能让 SVM 在高维空间中实现非线性可分，那么，核函数是在什么情况下被提出的呢？又有哪几种核函数呢？

本篇文章从 2 个角度讲解 SVM 核函数。

非线性带来高维转换 (模型角度)， $X → Φ(X)$

对偶表示带来内积 (优化角度)， $x_i^Tx_j$

如下表中介绍了感知机 PLA 和 SVM 从线性可分到非线性可分的模型演变结果。

线性可分	一点点错误	严格非线性
PLA	Pocket Algorithm	$Φ(X)$ + PLA
Hard-Margin SVM	Soft-Margin SVM	$Φ(X)$ + Hard-Margin SVM

而在线性不可分的情况下，如果让模型能够变得线性可分？上面已经讲了，从 2 个角度来理解。

我们知道高维空间中的特征比低维空间中的特征更易线性可分，这是一个定理，是可以证明的，这里只需要知道就行。

那么，我们就可以想到一个办法，就是把在输入空间中的特征通过一个函数映射到高维空间。

假设输入空间有一个点 $X=(x_1, x_2)$ ，是二维的，我们通过一个函数 $Φ(X)$ 将其映射到三维空间 $Z=(x_1,x_2,(x_1-x_2)^2)$ ，从二维到三维空间中的表示为：

从另一个角度来看，之前我们已经推导出 SVM 的损失函数，Hard-Margin SVM 的对偶问题中，最终的优化问题只与 X 的内积有关，也即是支持向量有关。

由此，我们可以将 X 的内积表示为 $Φ(X)$ 的内积 $Φ(x_i)^TΦ(x_j)$ 。

而我们现实生活中，可能 $Φ(X)$ 并不是上面举例的三维或者更高维，而是无限维，那么的 $Φ(X)$ 将会非常难求。

换个角度思考，其实我们关心的只是 $Φ(x_i)^TΦ(x_j)$ 的内积，并不关心 $Φ(X)$ 。有没有一种方法能直接求出内积？答案是有的。

我们可以引入核函数 keynel function。

如上中的一个核函数，我们可以直接求出 X 的内积，避免在高维空间中求 $Φ(x_i)^TΦ(x_j)$ 。

针对核函数，我们可以总结出 3 点。

定理： 令 $χ$ 为输入空间， $k(⋅,⋅)$ 是定义在 $χ×χ$ 上的对称函数，则 $k$ 是核函数当且仅当对于任意数据 $D=x_1,x_2,⋯,x_m$ ，“核矩阵” $K$ 总是半正定的：

定理表明，只要一个对称函数所对应的核矩阵半正定，那么它就可以作为核函数使用。事实上，对于一个半正定核矩阵，总能找到一个与之对应的映射 $ϕ(X)$ 。换言之，任何一个核函数都隐式定义了一个称为 “再生核希尔伯特空间” 的特征空间。

通过前面的介绍，核函数的选择，对于非线性支持向量机的性能至关重要。但是由于我们很难知道特征映射的形式，所以导致我们无法选择合适的核函数进行目标优化。于是 “核函数的选择” 称为支持向量机的最大变数，我们常见的核函数有以下几种：

此外，还可以通过函数组合得到，例如：

对于非线性的情况，SVM 的处理方法是选择一个核函数 $κ(⋅,⋅)$ ，通过将数据映射到高维空间，来解决在原始空间中线性不可分的问题。由于核函数的优良品质，这样的非线性扩展在计算量上并没有比原来复杂多少，这一点是非常难得的。

当然，这要归功于核方法——除了 SVM 之外，任何将计算表示为数据点的内积的方法，都可以使用核方法进行非线性扩展。