数据结构与算法（十三）-图的应用-最小生成树

图

• 生成树

  定义：连通图的⽣成树是⼀个极⼩的连通⼦图,它含有图中全部的n个顶点,但只⾜以构成⼀颗树的n-1条边。

  满⾜以下3个条件则为连通图的⽣成树:

    1. 图是连通图; 
    2. 图中包含了N个顶点; 
    3. 图中边的数量等于N-1条边（没有闭环）。
  

• 最小生成树

  定义：把构成连通网的最小代价的生成树称为最小生成树。

• 题目

  假设⽬前有N 个顶点,每个顶点连接的路径不⼀样.请你设计⼀个算法,快速找出能覆盖所有顶点的路径.

  

1. 普⾥姆(Prim)算法

   思路：

   1. 定义2个数组; adjvex ⽤来保存相关顶点下标; lowcost 保存顶点之间的权值
   2. 初始化2个数组, 从v0开始寻找最⼩⽣成树, 默认v0是最⼩⽣成树上第⼀个顶点
   3. 循环lowcost 数组,根据权值,找到顶点 k; 
   4. 更新lowcost 数组
   5. 循环所有顶点,找到与顶点k 有关系的顶点. 并更新lowcost 数组与adjvex 数组; 
   

   注意:

   更新lowcost 数组与adjvex 数组的条件: 
   1. 与顶点k 之间有连接
   2. 当前结点 j 没有加⼊过最⼩⽣成树; 
   3. 顶点 k 与 当前顶点 j 之间的权值 ⼩于 顶点j 与其他顶点 k 之前的权值. 则更新. 
   简单说就是要⽐较之前存储的值要⼩，则更新
   

   #define OK 1
   #define ERROR 0
   #define TRUE 1
   #define FALSE 0
   
   #define MAXVEX 20//定点数
   #define INFINITYC 65535//假定无穷
   
   typedef int Status;//Status是函数的类型,其值是函数结果状态代码，如OK等
   
   typedef struct {
       int arc[MAXVEX][MAXVEX];
       int numVertexes, numEdges;//numEdges边数；numVertexes顶点数
   } MGraph;
   

   //创建邻接矩阵
   void CreateMGraph(MGraph *G) {
       int i, j;
       
       /* printf("请输入边数和顶点数:"); */
       G->numEdges = 15;
       G->numVertexes = 9;
       
       //初始化图
       for (i = 0; i < G->numVertexes; i++) {
           for ( j = 0; j < G->numVertexes; j++) {
               if (i==j)
                   G->arc[i][j]=0;
               else
                   G->arc[i][j] = G->arc[j][i] = INFINITYC;
           }
       }
       
       G->arc[0][1]=10;
       G->arc[0][5]=11;
       G->arc[1][2]=18;
       G->arc[1][8]=12;
       G->arc[1][6]=16;
       G->arc[2][8]=8;
       G->arc[2][3]=22;
       G->arc[3][8]=21;
       G->arc[3][6]=24;
       G->arc[3][7]=16;
       G->arc[3][4]=20;
       G->arc[4][7]=7;
       G->arc[4][5]=26;
       G->arc[5][6]=17;
       G->arc[6][7]=19;
       
       for(i = 0; i < G->numVertexes; i++) {
           for(j = i; j < G->numVertexes; j++) {
               G->arc[j][i] =G->arc[i][j];
           }
       }
       
   }
   

   /* Prim算法生成最小生成树 */（以下算法以V0为初始顶点）
   void MiniSpanTree_Prim(MGraph G) {
       int i, j;//用来遍历
       int min;//min用来记录最小权值
       int k;//k用来记录最小权值对应的下标；
       int sum = 0;//用来累计权值
       int adjvex[MAXVEX];//保存相关顶点下标（数组下标为顶点，数组值为当前顶点在最小生成树中的前一个顶点，即通过哪个顶点到达当前顶点的权值最小时，记录哪个顶点）。
       int lowcost[MAXVEX];//保存相关顶点间边的权值（数组下标为顶点；数组值为顶点与顶点之间的权值，即邻接矩阵的数值），已加入最小生成树时，下标对应的权值置0。
       
       /* 初始化第一个权值为0，即v0加入生成树 */
       /* lowcost的值为0，在这里就是此下标的顶点已经加入生成树 */
       lowcost[0] = 0;
       
       /* 初始化第一个顶点下标为0 */
       adjvex[0] = 0;
       
       //1. 初始化
       //循环除下标为0外的全部顶点
       for(i = 1; i < G.numVertexes; i++) {
           lowcost[i] = G.arc[0][i];//将v0顶点与之有边的权值存入数组
           adjvex[i] = 0;//初始化都为v0的下标
       }
       
       //2. 循环除了下标为0以外的全部顶点, 找到lowcost数组中最小的顶点k
       for(i = 1; i < G.numVertexes; i++) {
           /* 初始化最小权值为∞， */
           /* 通常设置为不可能的大数字如32767、65535等 */
           min = INFINITYC;
           
           j = 1;k = 0;
           //循环全部顶点
           while (j < G.numVertexes) {
               /* 如果权值不为0且权值小于min */
               if (lowcost[j] != 0 && lowcost[j] < min)  {
                   /* 则让当前权值成为最小值,更新min */
                   min = lowcost[j];
                   /* 将当前最小值的下标存入k */
                   k = j;
               }
               j++;
           }
           
           /* 打印当前顶点边中权值最小的边 */
           printf("(V%d, V%d) = %d\n", adjvex[k], k ,G.arc[adjvex[k]][k]);
           sum+=G.arc[adjvex[k]][k];
           
           /* 3.将当前顶点的权值设置为0,表示此顶点已经完成任务 */
           lowcost[k] = 0;
           
           /* 循环所有顶点,找到与顶点k 相连接的顶点
            1. 与顶点k 之间连接;
            2. 该结点没有被加入到生成树;
            3. 顶点k 与 顶点j 之间的权值 < 顶点j与其他顶点的权值,则更新lowcost 数组;
            */
           for (j = 1; j < G.numVertexes; j++) {
               /* 如果下标为k顶点各边权值小于此前这些顶点未被加入生成树权值 */
               //lowcost[j] 如果为0说明已加入最小生成树
               if (lowcost[j] != 0 && G.arc[k][j] < lowcost[j]) {
                   /* 将较小的权值存入lowcost相应位置 */
                   lowcost[j] = G.arc[k][j];
                   /* 将下标为k的顶点存入adjvex */
                   adjvex[j] = k;
               }
           }
       }
       printf("sum = %d\n",sum);
   }
   

2. 克鲁斯卡尔(Kruskal)算法

   思路

   1. 将邻接矩阵 转化成 边表数组; 
   2. 对边表数组根据权值按照从⼩到⼤的顺序排序; 
   3. 遍历所有的边, 通过parent 数组找到边的连接信息; 避免闭环问题; 
   4. 如果不存在闭环问题,则加⼊到最⼩⽣成树中. 并且修改parent 数组
   

   举例：

   

   当遇到闭环时：

   

   #define OK 1
   #define ERROR 0
   #define TRUE 1
   #define FALSE 0
   #define MAXEDGE 20
   #define MAXVEX 20
   #define INFINITYC 65535
   
   typedef int Status;
   typedef struct {
       int arc[MAXVEX][MAXVEX];
       int numVertexes, numEdges;
   } MGraph;
   
   /* 对边集数组Edge结构的定义 */
   typedef struct {
       int begin;
       int end;
       int weight;
   } Edge ;
   

   /* 交换权值以及头和尾 */
   void Swapn(Edge *edges,int i, int j) {
       int tempValue;
       
       //交换edges[i].begin 和 edges[j].begin 的值
       tempValue = edges[i].begin;
       edges[i].begin = edges[j].begin;
       edges[j].begin = tempValue;
       
       //交换edges[i].end 和 edges[j].end 的值
       tempValue = edges[i].end;
       edges[i].end = edges[j].end;
       edges[j].end = tempValue;
       
       //交换edges[i].weight 和 edges[j].weight 的值
       tempValue = edges[i].weight;
       edges[i].weight = edges[j].weight;
       edges[j].weight = tempValue;
   }
   
   /* 对权值进行排序 */
   void sort(Edge edges[],MGraph *G) {
       //对权值进行排序(从小到大)
       int i, j;
       for ( i = 0; i < G->numEdges; i++) {
           for ( j = i + 1; j < G->numEdges; j++) {
               if (edges[i].weight > edges[j].weight) {
                   Swapn(edges, i, j);
               }
           }
       }
       
       printf("边集数组根据权值排序之后的为:\n");
       for (i = 0; i < G->numEdges; i++) {
           printf("(%d, %d) %d\n", edges[i].begin, edges[i].end, edges[i].weight);
       }
       
   }
   
   /* 查找连线顶点的尾部下标 */
   //根据顶点f以及parent 数组,可以找到当前顶点的尾部下标; 帮助我们判断2点之间是否存在闭环问题;
   int Find (int *parent, int f) {
       while ( parent[f] > 0) {
           f = parent[f];
       }
       return f;
   }
   
   /* 生成最小生成树 */
   void MiniSpanTree_Kruskal(MGraph G) {
       int i, j, n, m;
       int sum = 0;
       int k = 0;
       
       /* 定义一数组用来判断边与边是否形成环路，用来记录顶点间的连接关系. 通过它来防止最小生成树产生闭环;*/
       int parent[MAXVEX];
       /* 定义边集数组,edge的结构为begin,end,weight,均为整型 */
       Edge edges[MAXEDGE];
       
       /*1. 用来构建边集数组*/
       for ( i = 0; i < G.numVertexes-1; i++) {
           for (j = i + 1; j < G.numVertexes; j++) {
               //如果当前路径权值 != ∞
               if (G.arc[i][j]<INFINITYC) {
                   //将路径对应的begin,end,weight 存储到edges 边集数组中.
                   edges[k].begin = i;
                   edges[k].end = j;
                   edges[k].weight = G.arc[i][j];
                   
                   //边集数组计算器k++;
                   k++;
               }
           }
       }
       
       //2. 对边集数组排序
       sort(edges, &G);
       
       //3.初始化parent 数组为0. 9个顶点;
       // for (i = 0; i < G.numVertexes; i++)
       for (i = 0; i < MAXVEX; i++)
           parent[i] = 0;
       
       //4. 计算最小生成树
       printf("打印最小生成树：\n");
       /* 循环每一条边 G.numEdges 有15条边*/
       for (i = 0; i < G.numEdges; i++) {
           //获取begin,end 在parent 数组中的信息;
           //如果n = m ,将begin 和 end 连接,就会产生闭合的环.
           n = Find(parent,edges[i].begin);
           m = Find(parent,edges[i].end);
           //printf("n = %d,m = %d\n",n,m);
           
           /* 假如n与m不等，说明此边没有与现有的生成树形成环路 */
           if (n != m) {
               /* 将此边的结尾顶点放入下标为起点的parent中。 */
               /* 表示此顶点已经在生成树集合中 */
               parent[n] = m;
               
               /*打印最小生成树路径*/
               printf("(%d, %d) %d\n", edges[i].begin, edges[i].end, edges[i].weight);
               sum += edges[i].weight;
           }
       }
       
       printf("sum = %d\n",sum);
   }