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二叉树深度优先遍历

这两天在做二叉树相关的算法题,做一点学习笔记。(连二叉树都不会?确实不熟练,平时工作也没有要去写二叉树相关的算法或者数据结构的场景。因为自己菜,所以更加要努力学!)

定义

先看下维基百科的解释:在计算机科学中,二叉树(英语:Binary tree)是每个节点最多只有两个分支(即不存在分支度大于2的节点)的树结构。通常分支被称作“左子树”或“右子树”。二叉树的分支具有左右次序,不能随意颠倒。

由于二叉树本身定义的特点,具有高度的局部重复性,所以在深度优先遍历二叉树时,通常采用递归的方式去实现,这样实现出来的代码非常简洁漂亮,也比较容易看懂。

深度优先遍历

一般我们深度优先遍历二叉树有三种最常见的顺序遍历:前序、中序、后序。

前序的遍历顺序为:访问根结点 -> 遍历左子树 -> 遍历右子树

中序的遍历顺序为:遍历左子树 -> 访问根结点 -> 遍历右子树

后序的遍历顺序为:遍历左子树 -> 遍历右子树 -> 访问根结点

注意这里的左右是整个子树,而不是一个结点,因为我们需要遍历整棵树,所以每次遍历都是按照这个顺序去执行,直到叶子结点。

举个例子,假如有如下二叉树:

1.jpg

前序遍历得到的序列就是 A - B - C - D - E

中序遍历得到的序列就是 B - A - D - C - E

后序遍历得到的序列就是 B - D - E - C - A

思路我们就用前序遍历来讲(非常不建议去人肉递归,至少我的脑子吃不消三层。。。):

第一层递归:

先访问根结点,所以输出根结点 A,然后遍历左子树(L1),再遍历右子树(R1);

第二层递归:

对于 L1,先访问根结点,所以输出此时的根结点 B,然后发现 B 的左右子树为空,结束递归;

对于 R1,先访问根结点,所以输出此时的根结点 C,然后遍历左子树(L2),再遍历右子树(R2);

第三层递归:

对于 L2,先访问根结点,所以输出此时的根结点 D,然后发现 D 的左右子树为空,结束递归;

对于 R2,先访问根结点,所以输出此时的根结点 E,然后发现 E 的左右子树为空,结束递归;

前中后序特征

根据前中后序的定义,其实我们不难发现有如下特征:

• 前序的第一个一定是 root 节点,后序的最后一个一定是 root 节点

• 每种排序的左子树和右子树分布都是有规律的

• 对于每一个子树都遵循上面两个规律的树

2.jpg

这些特征也就是定义中对顺序的表现。

各种推导

这边列举一下对于二叉树的遍历最基本的几个算法题:

• 给定二叉树得出其前/中/后序遍历的序列;

• 根据前序和中序推导后序(或者推导整颗二叉树);

• 根据后序和中序推导前序(或者推导整颗二叉树);

对于二叉树的遍历,前面也讲过,通常采用递归来做,对于递归,有模版可以直接套用:

public void recur(int level, int param) {
	
    // terminator
    if (level > MAX_LEVEL) {
        // process result
     	return;   
    }
    
    // process current logic
    process(level, param);
    
    // drill down
    recur(level+1, newParam);
    
    // restore current status
}
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这个是我这两天看极客时间的算法训练营中超哥(覃超)讲到的比较实用的小技巧(这个模版对于新手特别好),遵循上面的三步骤(如果有局部变量需要释放或者额外处理则第四步去做)能比较有条理的写出递归代码。

这里拿根据前序和中序推导后序来举例:

先初始化两个序列:

int[] preSequence = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9};
int[] inSequence = {2, 3, 1, 6, 7, 8, 5, 9, 4};
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通过上面说到的几个特征,我们已经可以找到最小重复子问题了,每次递归

根据前序的第一个结点值去匹配中序中该结点值所在的索引 i,这样我们就能得到索引 i 的前后两部份分别对应左右子树,接着分别去遍历这两个左右子树,然后输出当前前序的第一个结点值,也就是根结点。

根据自顶向下的程序设计方法,我们可以先写出如下初始递归调用:

List<Integer> result = new ArrayList<>();
preAndInToPost(0, 0, preSequence.length, preSequence, inSequence, result);
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第一个参数表示前序序列的第一个元素索引;

第二个参数表示中序序列的第一个元素索引;

第三个参数表示序列长度;

第四个参数表示前序序列;

第五个参数表示后序序列;

第六个参数用于保存结果;

先来考虑终止条件是什么,也就是什么时候结束递归,当我们的根结点为空的时候终止,对应这里就是序列长度为零的时候。

if (length == 0) {
	return;
}
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接着考虑处理逻辑,也就是找到索引 i:

int i = 0;
while (inSequence[inIndex + i] != preSequence[preIndex]) {
    i++;
}
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然后开始向下递归:

preAndInToPost(preIndex + 1, inIndex, i, preSequence, inSequence, result);
preAndInToPost(preIndex + i + 1, inIndex + i + 1, length - i - 1, preSequence, inSequence, result);
result.add(preSequence[preIndex]);
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因为推导的是后序序列,所以顺序如上,添加根结点的操作是在最后的。前三个参数如何得出来的呢,我们走一下第一次遍历就可以得出来。

前序序列的第一个结点 1 在中序序列中的索引为 2,此时

左子树的中序系列起始索引为总序列的第 1 个索引,长度为 2;

左子树的前序序列起始索引为总序列的第 2 个索引,长度为 2;

右子树的中序系列起始索引为总序列的第 3 个索引,长度为 length - 3;

右子树的前序序列起始索引为总序列的第 3 个索引,长度为 length - 3;

完整代码如下:

/**
 * 根据前序和中序推导后序
 *
 * @param preIndex    前序索引
 * @param inIndex     中序索引
 * @param length      序列长度
 * @param preSequence 前序序列
 * @param inSequence  中序序列
 * @param result      结果序列
 */
private void preAndInToPost(int preIndex, int inIndex, int length, int[] preSequence, int[] inSequence, List<Integer> result) {
    if (length == 0) {
        return;
    }

    int i = 0;
    while (inSequence[inIndex + i] != preSequence[preIndex]) {
        i++;
    }

    preAndInToPost(preIndex + 1, inIndex, i, preSequence, inSequence, result);
    preAndInToPost(preIndex + i + 1, inIndex + i + 1, length - i - 1, preSequence, inSequence, result);
    result.add(preSequence[preIndex]);
}
复制代码

参考链接

维基百科 - 二叉树

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