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数据结构进阶篇-跳表

大家想必都知道,数组和链表的搜索操作的时间复杂度都是O(N)的,在数据量大的时候是非常耗时的。对于数组来说,我们可以先排序,然后使用二分搜索,就能够将时间复杂度降低到O(logN),但是有序数组的插入是一个O(N)级别的操作。而链表的插入性能相对优秀,却不能使用二分搜索快速查询。那么是否有一种数据结构,即能够像链表一样快速插入数据,又支持类似于二分搜索这样的查询算法呢?答案是肯定的。William Pugh教授在1990发表的论文《Skip Lists: A Probabilistic Alternative to Balanced Trees》中提出的跳表就是这样一种有趣的数据结构。

跳表的结构

跳表的核心思想是通过建立索引层来缩短链表的搜索路径,以达到快速搜索的目的。
假设我们从链表中的每两个节点中提取出一个建立一级索引,然后再从每两个一级索引中提取一个建立二级索引,以此类推,就可以得到如下图所示的结构,其中绿色节点表示索引。

跳表数组表示

在William Pugh的论文中使用了数组加链表的组合来实现跳表,就如上图所示,每一列索引具有相同的key,使用一个数组来表示。还可以使用纯链表的形式来实现跳表,我觉得这种方式更有助于理解跳表的原理,如下图所示。

跳表链表表示

跳表的搜索

跳表的搜索需要从高层索引开始向下逐层搜索,每一层的搜索方式和普通链表是一样的,当后继节点的关键字大于搜索关键字时结束本层的搜索,进入下一层继续搜索。下图展示了跳表搜索关键字 22 的过程,其中红色部分就是搜索的路径。

跳表搜索
从上图可以很直观的看出,跳表的搜索和二分搜索是一样的,其时间复杂度也是O(logN)的,我们不妨简单证明一下。
假设跳表中有N个数据节点(关键字),每m个低级索引(或数据节点)中提取出一个作为高级索引,那么
一级索引的数量 L_1 = \frac{N}{m}
二级索引的数量 L_2 = \frac{N}{m^2}
三级索引的数量 L_3 = \frac{N}{m^3}
以此类推,第i级索引的数量 L_i = \frac{N}{m^i}
最高级索引的数量 L_{max} = m = \frac{N}{m^{max}}
所以索引的最大层级 MaxLevel = \log_m{N} - 1
每一层的搜索次数 M \leq m
所以跳表的搜索次数 \Theta	 \leq M \cdot MaxLevel = m \cdot (\log_m{N} - 1)
因为m是一个常量,因此跳表的搜索时间复杂度是O(logN)的

跳表的多层索引结构使它的搜索方式非常灵活且强大
比如我们可能有这样的需求,如果key不存在,我们需要知道这个key邻近的nearKey是什么,这用跳表很容易实现

  1. 搜索比key小且最接近key的关键字lowerKey,如上图所示,后继节点大于等于key时,直接返回当前节点即可
  2. 搜索比key大且最接近key的关键字higherKey,如上图所示,后继节点大于key时,直接返回后继节点即可

跳表还可以很容易的搜索一个关键字区间[fromKey, toKey],这点和B+树很类似,先搜索fromKey,然后向后遍历链表,取出所有小于等于toKey的数据即可

跳表的插入

到现在为止,本文描述的都是理想状态下的跳表,事实上,我们不会严格的为跳表的每m个低级索引建立高级索引,因为这样做复杂而且低效。所以William Pugh在他的论文中采用一种随机算法来为每个新增的节点随机建立索引,下面是我用Java实现的版本。

int randomLevel(int m, int maxLevel) {
    ThreadLocalRandom r = ThreadLocalRandom.current();
    int level = 1;
    while (r.nextInt(m) == 0 && level <  maxLevel)
        level++;
    return level;
}
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通过这种随机算法,生成第i级索引的概率为 \frac{1}{m^i}
所以能够保证每一层索引的数量都接近于 \frac{N}{m^i},这正好符合我们前面提到的索引层的性质。
Doug Lea大佬在Java的ConcurrentSkipListMap中使用了另外一种更加炫酷的随机算法的实现方式,使用随机数末尾连续为1的位数作为索引的等级,显然这种方式生成第i级索引的概率为 \frac{1}{2^i} ,代码如下所示。

int rn = ThreadLocalRandom.current().nextInt();
// 只有最高位和最低位都为0时,才建立索引,相当于为4个node建立一个索引
if ((rn & 0x80000001) == 0) {
    int level = 1;
    // 建立索引的等级等于rn末尾连续为1的位数
    while (((rn >>>= 1) & 1) != 0)
        level++;
}
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通过随机函数生成一个随机的索引等级之后,创建一个新的索引列,并将每一层的新索引链接到它的前驱索引的后面,如果生成的随机等级大于当前跳表的最大索引等级,需要添加一层新的索引。如下图所示,其中红色虚线箭头表示重新建立的链接。

跳表插入

跳表的删除

跳表的删除操作比较简单,先查询删除的关键字,如果在索引层匹配到了关键字,就向下删除所有的索引和数据节点,如果没有匹配到索引,只需要删除数据节点即可。其中有一点需要注意的是,在删除索引后需要检测一下,如果当前层的HEAD索引的后继索引为NIL,则表示这一层已经没有索引了,需要删除这个索引层。如下图所示,红色箭头表示重新建立的链接。

跳表删除

跳表的实现

跳表的实现相对AVL树、红黑树等平衡二叉树来说简单了很多,William Pugh的论文《Skip Lists: A Probabilistic Alternative to Balanced Trees》中提供了使用数组加链表实现跳表的伪代码,我写了一个Java版本的纯链表实现的跳表,并上传到了我的GitHub上,有兴趣的朋友可以看一下。如果你需要在开发中使用跳表的话,java.util.concurrent.ConcurrentSkipListMap是一个强大的实现,而且它还是线程安全的。