算法的复杂度分析

数据结构和算法解决的是“快”和“省”的问题，即如何让代码运行的快，如何让代码运行的省储存空间。所以，执行效率是算法一个非常重要的考量标准，如何衡量算法代码的执行效率？这就是这篇文章要说的：时间、空间复杂度分析。

为什么需要复杂度分析？

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我们把代码跑一遍，通过统计、监控，就能知道算法执行的时间和占用的内存大小，为什么还要做时间、空间复杂度分析呢？首先可以肯定的说，这种评估算法的执行效率是正确的。很多数据结构和算法书籍给这种方法起了一个名字，叫事后统计法，但是这种统计方法有非常大的的局限性。

1. 测试结果非常依赖测试环境

测试环境中硬件的不同会对测试结果有很大的影响。比如同样的代码分别在A11处理器和A9处理器来运行，A11处理器要比A9处理器执行的速度快很多，还有，比如原本在这台机器上 a 代码执行的速度比 b 代码要快，等我们换到另一台机器上时，可能会有截然相反的结果。

2. 测试结果受数据规模的影响很大

对同一个排序算法，待排序数据的有序度不一样，排序的执行时间就会有很大的差别。极端情况下，如果数据已经是有序的，那排序算法不需要做任何操作，执行时间就会非常短。除此之外，如果测试数据规模太小，测试结果可能无法真实地反应算法的性能。比如，对于小规模的数据排序，插入排序坑反倒比快速排序还要快！

所以，我们需要一个不用具体的测试数据来测试，就可以粗略地估计算法的执行效率的方法。

大O复杂度表示法

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算法的执行效率，粗略地讲，就是算法代码的执行时间，但是如何不在运行代码的情况下，用”肉眼“得到一段代码的执行时间呢？

这里有段非常简单的代码，求1，2，3...n的累加和。现在，我就带你一块来估算下这段代码的执行时间。

 int cal(int n) {
   int sum = 0;// 需要一个unit_time执行时间
   int i = 1;// 需要一个unit_time执行时间
   // 运行了n遍，需要2n*unit_time的执行时间
   for (; i <= n; ++i) {
     sum = sum + i;
   }
   return sum;
 }
 
 //综上这段代码的总时间：（2n+2）* unit_time

从CPU的角度来看，这段代码的每一行都执行者类似的操作：**读数据-运算-写数据。**尽管每行代码对应的cpu执行个数，执行的时间都不一样，但是，我们这里只是粗略估计，所以可以假设每行代码执行的时间都一样，为unit_time。这这个假设的基础之上，这段代码的总执行时间是多少？。（见代码注释）

可以看出来，所有代码的执行时间T(n)与每行代码的执行次数成正比。

按照这个分析思路，我们再来看这段代码

int cal(int n) {
   int sum = 0; //需要一个unit_time
   int i = 1; //需要一个unit_time
   int j = 1; //需要一个unit_time
   for (; i <= n; ++i) {
     j = 1; //需要一个2n * unit_time
     for (; j <= n; ++j) {
       sum = sum +  i * j; //运行了n²遍，需要2n² * unit_time
     }
   }
 }
 //综上这段代码的总时间：（2n² + 2n + 3） * unit_time

尽管我们不知道unit_time的具体值，但是通过这两段代码执行时间的推导过程，我们可以得到一个非常重要的规律，那就是，所有代码的执行时间T(n)与每行代码的执行次数n成正比。

我们可以把这规律总结成一个公式。 T(n) = O( f(n) ) 其中T(n)代表执行的时间，n表示数据规模的大小，f(n)表示每行代码执行的次数总和，因为这是一个公式，所以用f(n)来表示，公式中的O，表示代码的执行时间T(n)与f(n)表达式成正比。

所以第一个列子中的T(n) = O(2n + 2),第二个例子中的T(n) = O(2n² + 2n + 3)。这是大O复杂度表示法，大O时间复杂度实际上并不具有表示代码真正执行时间，而是表示代码执行时间随数据规模增长的变化趋势，所以，也叫做渐进时间复杂度（asymptotic time complexity）,简称时间复杂度。

当n很大时，你可以把它想象成10000，100000。而公式中的低阶，常量，系数三部分并不左右增长趋势，所以可以忽略。我们只需要记录一个最大量级就可以了，如果用大O表示法表示刚才讲的那两段代码的时间复杂度，就可以记为：T(n) = O(n); T(n) = O(n²)。

时间复杂度分析

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前面介绍了大O时间复杂度的由来和表示方法，现在我们来看下，如何分析一段代码的时间复杂度？

1. 只关注循环执行次数最多的一段代码

大O这种复杂度表示方法只是表示一种变化趋势。我们通常会忽略掉公式中的常量、低阶、系数，只需要记录一个最大阶的量级就可以了，所以我们再分析一个算法，一段代码的时间复杂度的时候，也只关注循环执行次数最多的那一段代码就可以了。这段核心代码执行次数的n的量级，就是整段代码要分析代码的时间复杂度。前面的两个例子得到的复杂度就很好的说明了这一点。

2. 加法法则：总复杂度等于量级最大的那段代码的复杂度

int cal(int n) {
   int sum_1 = 0;
   int p = 1;
   for (; p < 100; ++p) {
     sum_1 = sum_1 + p;
   }
 
   int sum_2 = 0;
   int q = 1;
   for (; q < n; ++q) {
     sum_2 = sum_2 + q;
   }
 
   int sum_3 = 0;
   int i = 1;
   int j = 1;
   for (; i <= n; ++i) {
     j = 1; 
     for (; j <= n; ++j) {
       sum_3 = sum_3 +  i * j;
     }
   }
 
   return sum_1 + sum_2 + sum_3;
 }

这个代码分为三部分，分别是求sum_1、sum_2、sum_3。我们可以分别分析每一部分的时间复杂度。然后把它们放到一块，再取一个量级最大的作为整段代码的复杂度。

第一段的时间复杂度是多少呢？这段代码循环执行了100次，所以是一个常量的执行时间，跟n的规模无关。

这里强调一下，即便这段代码循环了10000次、100000次，只要是一个已知的数，跟n无关，照样也是常量级的执行时间。当n无限大的时候，就可以忽略。尽管对代码的执行时间会有很大影响，但是回到时间复杂度的概念来说，它表示的是一个算法执行效率与数据规模增长的变化趋势，所以不管常量的执行时间多大，我们可以忽略掉，因为它本身对增长趋势并没有影响。

第二段和第三段的时间复杂度分别是：O(n)和O(n²)

综合这三段代码的时间复杂度，我们去其中最大的量级。所以，整段代码的时间复杂度就是O(n²),也就是说：总的时间复杂度就等于量级最大的那段代码的时间复杂度。

如果 T1(n)=O(f(n))，T2(n)=O(g(n))；那么 T(n)=T1(n)+T2(n)=max(O(f(n)), O(g(n))) =O(max(f(n), g(n))).

3. 乘法法则：嵌套代码的复杂度

上述是加法法则，这儿还有一个乘法法则，类比一下：

如果 T1(n)=O(f(n))，T2(n)=O(g(n))；那么 T(n)=T1(n)*T2(n)=O(f(n))*O(g(n))=O(f(n)*g(n)).

也就是说。假设T1(n) = O(n)，T2(n) = O(n²)，则 T1(n) * T2(n) = O(n³)。落实到具体的代码上，我们可以把乘法法则看成是嵌套循环。

int cal(int n) {
   int ret = 0; 
   int i = 1;
   for (; i < n; ++i) {
     ret = ret + f(i);
   } 
 } 
 
 int f(int n) {
  int sum = 0;
  int i = 1;
  for (; i < n; ++i) {
    sum = sum + i;
  } 
  return sum;
 }

我们单独看cal()函数，假设f()只是一个普通的操作，那么它的时间复杂度就是，T1(n) = O(n)。但f()函数本身不是一个简单的操作，它的时间复杂度是T2(n) = O(n),所以，整个cal()函数的时间复杂度就是，T(n) = T1(n) * T2(n) = O(n*n) = O(n²)。

几种常见时间复杂度实例分析

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虽然代码千差万别，但是常见的复杂度级并不多。这里总结了一下，复杂度量级（按数量级递增）：

• 常量阶 O( 1 )
• 对数阶 O( logn )
• 线性阶 O( n )
• 线性对数阶 O( nlogn )
• 平方阶 O( n² )、立方阶 O( n³ )...k次方阶O( n^k )
• 指数阶 O( 2ⁿ )
• 阶乘阶 O( n! )

对于刚罗列的复杂度量级，可以粗略的分为两类。多项式量级和**非多项式量级。**其中，非多项式只有两个：O( 2ⁿ )和 O( n! )

当数据规模n越来越大时，非多项式量级算法的执行时间会急剧增加，求解问题的执行时间会无限增长。所以，非多项式时间复杂度的算法其实是非常低效的算法。主要来看几种常见的多项式时间复杂度。

1. O(1)

首先你必须明确一个概念，O(1)只是常量级时间复杂度的一种表示方法，并不是指只执行了一行代码。比如这段代码，即便有3行，它的时间复杂度也是O(1),而不是O(3)。

 int i = 8;
 int j = 6;
 int sum = i + j;

只要代码的执行时间不随n的增大而增大，这样代码的时间复杂度我们记为O(1)。或者说，一般情况下，只要算法中不存在循环语句、递归语句，即使有成千上万行的代码，其时间复杂度也是O(1)。

2. O(logn)、O(nlogn)

对数阶时间复杂度非常常见，同时也是最难分析的一种时间复杂度。通过一个例子分析一下

i=1;
 while (i <= n)  {
   i = i * 2;
 }

根据前面复杂度分析方法，第三行代码是循环执行次数最多的，所以，只要能计算出这行代码被执行了多少次，就能知道整段代码的时间复杂度。

从代码中可以看出，变量 i 的值是从1开始取，每循环一次就乘以2。当大于 n 时，循环结束。和高中学过的等比数列一样，实际上，变量i取值就是一个等比数列。如果把它一个一个列出来，就应该是这个样子的：

2⁰ 2¹ 2² ... 2^k ... 2ⁿ = n

所以只要知道x值是多少， 就知道这行代码执行次数了，通过 2^xx = n 求解 x 。x=log₂n

 i=1;
 while (i <= n)  {
   i = i * 3;
 }

很简单的看出来，以上代码的时间复杂度是O(log₃n)

实际上，不管代码是以2为底、以2为底，还是以10为底。我们可以吧所有对数阶的时间复杂度记为O(logn)。

这是因为，对数之间是可以互相转换的，log₃n等于log₃2 * log₂n，所以O(log₃n) = O（C * log₂n）,其中 C = log₃2是一个常量。基于我们前面的一个理论：在采用大O标记复杂度的时候，可以忽略系数，即O(Cf(n)) = O(f(n))。所以，O(log₂n)。因此，在对数时间复杂度的表示方法里，我们忽略对数的”底“，统一表示为O(logn)。

如果一段代码的时间复杂度是O(logn),循环执行n遍，时间复杂度就是O(nlogn)了，而且，O(nlogn)也是一种非常常见的算法时间复杂度，比如，归并排序，快速排序的时间复杂度就是O(nlogn)。

3. O(m+n)、O(m*n)

这种时间复杂度和前面都不一样，它是由两个数据的规模来决定的。

int cal(int m, int n) {
  int sum_1 = 0;
  int i = 1;
  for (; i < m; ++i) {
    sum_1 = sum_1 + i;
  }
 
  int sum_2 = 0;
  int j = 1;
  for (; j < n; ++j) {
    sum_2 = sum_2 + j;
  }
 
  return sum_1 + sum_2;
}

从代码中可以看出，m 和 n 是表示两个数据规模。我们无法事先评估m 和 n 谁的量级大，所以我们在表示复杂度的时候，就不能简单地利用加法法则，省略掉其中一个。所以，上面代码的时间复杂度就是O(m + n)。

这种情况，原来的加法法则就不能正确了，我们需要将加法法则改为：T1(m) + T2(n) = O(f(m) + g(n))。但是乘法法则则继续有效：T1(m)*T2(n) = O(f(m) * f(n))。

空间复杂度分析

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时间复杂度的全称是渐进时间复杂度，表示算法的执行时间与数据规模之间的增长关系。类比一下，空间复杂度全称就是渐进空间复杂度（asymptotic space complexity）,表示算法的储存空间与数据规模之间的增长关系。

void print(int n) {
  int i = 0;
  int[] a = new int[n];
  for (i; i <n; ++i) {
    a[i] = i * i;
  }
 
  for (i = n-1; i >= 0; --i) {
    print out a[i]
  }
}

以上代码跟时间复杂度分析一样， 第2行代码中，申请了一个空间存储变量i，但是它是常量阶的，跟数据规模 n 没有关系，可以忽略。第3行申请了一个大小为n的int类型数组，除此之外，剩下的代码都没有占用更多的空间，所以整段代码的空间复杂度就是O(n)。

常见的空间复杂度就是O(1)，O(n),O(n²),像O(logn),O(nlogn)这样的对数阶复杂度平时都用不到。