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Floyd-Warshall 解题模板,助你快速AC

Floyd-Warshall 是解决任意两点间的最短路径的一种算法,LeetCode 有很多题目都用了,掌握这套解题模板帮你快速 AC。

题目地址(1334. 阈值距离内邻居最少的城市)

https://leetcode-cn.com/problems/find-the-city-with-the-smallest-number-of-neighbors-at-a-threshold-distance/

题目描述

有 n 个城市,按从 0 到 n-1 编号。给你一个边数组 edges,其中 edges[i] = [fromi, toi, weighti] 代表 fromi 和 toi 两个城市之间的双向加权边,距离阈值是一个整数 distanceThreshold。

返回能通过某些路径到达其他城市数目最少、且路径距离 最大 为 distanceThreshold 的城市。如果有多个这样的城市,则返回编号最大的城市。

注意,连接城市 i 和 j 的路径的距离等于沿该路径的所有边的权重之和。

 

示例 1:
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image.png




输入:n = 4, edges = [[0,1,3],[1,2,1],[1,3,4],[2,3,1]], distanceThreshold = 4
输出:3
解释:城市分布图如上。
每个城市阈值距离 distanceThreshold = 4 内的邻居城市分别是:
城市 0 -> [城市 1, 城市 2] 
城市 1 -> [城市 0, 城市 2, 城市 3] 
城市 2 -> [城市 0, 城市 1, 城市 3] 
城市 3 -> [城市 1, 城市 2] 
城市 0 和 3 在阈值距离 4 以内都有 2 个邻居城市,但是我们必须返回城市 3,因为它的编号最大。
示例 2:
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image.png


输入:n = 5, edges = [[0,1,2],[0,4,8],[1,2,3],[1,4,2],[2,3,1],[3,4,1]], distanceThreshold = 2
输出:0
解释:城市分布图如上。 
每个城市阈值距离 distanceThreshold = 2 内的邻居城市分别是:
城市 0 -> [城市 1] 
城市 1 -> [城市 0, 城市 4] 
城市 2 -> [城市 3, 城市 4] 
城市 3 -> [城市 2, 城市 4]
城市 4 -> [城市 1, 城市 2, 城市 3] 
城市 0 在阈值距离 4 以内只有 1 个邻居城市。
 

提示:

2 <= n <= 100
1 <= edges.length <= n * (n - 1) / 2
edges[i].length == 3
0 <= fromi < toi < n
1 <= weighti, distanceThreshold <= 10^4
所有 (fromi, toi) 都是不同的。

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思路

这道题的本质就是:

  1. 在一个无向图中寻找每两个城镇的最小距离,我们使用 Floyd-Warshall 算法(英语:Floyd-Warshall algorithm),中文亦称弗洛伊德算法,是解决任意两点间的最短路径的一种算法。
  2. 筛选最小距离不大于  distanceThreshold 的城镇。
  3. 统计每个城镇,其满足条件的城镇有多少个
  4. 我们找出最少的即可

Floyd-Warshall 算法的时间复杂度和空间复杂度都是$O(N^3)$, 而空间复杂度可以优化到$O(N^2)$。Floyd-Warshall 的基本思想是对于每两个点之间的最小距离,要么经过中间节点 k,要么不经过,我们取两者的最小值,这是一种动态规划思想,详细的解法可以参考Floyd-Warshall 算法(wikipedia)

代码

代码支持:Python3

Python3 Code:

class Solution:
    def findTheCity(self, n: int, edges: List[List[int]], distanceThreshold: int) -> int:
        # 构建dist矩阵
        dist = [[float('inf')] * n for _ in  range(n)]
        for i, j, w in edges:
            dist[i][j] = w
            dist[j][i] = w
        for i in range(n):
            dist[i][i] = 0
        for k in range(n):
            for i in range(n):
                for j in range(n):
                    dist[i][j] = min(dist[i][j], dist[i][k] + dist[k][j])

        # 过滤
        res = 0
        minCnt = float('inf')
        for i in range(n):
            cnt = 0
            for d in dist[i]:
                if d <= distanceThreshold:
                    cnt += 1
            if cnt <= minCnt:
                minCnt = cnt
                res = i
        return res

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关键点解析

  • Floyd-Warshall 算法
  • 你可以将本文给的 Floyd-Warshall 算法当成一种解题模板使用