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【算法提高班】贪婪策略

贪婪策略是一种常见的算法思想,具体是指,在对问题求解时,总是做出在当前看来是最好的选择。也就是说,不从整体最优上加以考虑,他所做出的是在某种意义上的局部最优解。贪心算法不是对所有问题都能得到整体最优解,关键是贪心策略的选择,选择的贪心策略必须具备无后效性,即某个状态以前的过程不会影响以后的状态,只与当前状态有关,这点和动态规划一样。

LeetCode 上对于贪婪策略有 73 道题目。我们将其分成几个类型来讲解,截止目前我们暂时只提供覆盖问题,其他的可以期待我的新书或者之后的题解文章。

覆盖

我们挑选三道来讲解,这三道题除了使用贪婪法,你也可以尝试动态规划来解决。

覆盖问题的一大特征,我们可以将其抽象为给定数轴上的一个大区间 I 和 n 个小区间 i[0], i[1], ..., i[n - 1],问最少选择多少个小区间,使得这些小区间的并集可以覆盖整个大区间。

我们来看下这三道题吧。

45. 跳跃游戏 II

题目描述

给定一个非负整数数组,你最初位于数组的第一个位置。

数组中的每个元素代表你在该位置可以跳跃的最大长度。

你的目标是使用最少的跳跃次数到达数组的最后一个位置。

示例:

输入: [2,3,1,1,4]输出: 2解释: 跳到最后一个位置的最小跳跃数是 2。  从下标为 0 跳到下标为 1 的位置,跳  1  步,然后跳  3  步到达数组的最后一个位置。说明:

假设你总是可以到达数组的最后一个位置。

思路

贪婪策略,即我们每次在可跳范围内选择可以使得跳的更远的位置,由于题目保证了你总是可以到达数组的最后一个位置,因此这种算法是完备的。

如下图,开始的位置是 2,可跳的范围是橙色的。然后因为 3 可以跳的更远,所以跳到 3 的位置。

如下图,然后现在的位置就是 3 了,能跳的范围是橙色的,然后因为 4 可以跳的更远,所以下次跳到 4 的位置。

写代码的话,我们用 end 表示当前能跳的边界,对于上边第一个图的橙色 1,第二个图中就是橙色的 4,遍历数组的时候,到了边界,我们就重新更新新的边界。

图来自 https://leetcode-cn.com/u/windliang/

代码

代码支持:Python3

Python3 Code:

class Solution:
    def jump(self, nums: List[int]) -> int:
        n, cnt, furthest, end = len(nums), 0, 0, 0
        for i in range(n - 1):
            furthest = max(furthest, nums[i] + i)
            if i == end:
                cnt += 1
                end = furthest

        return cnt复制代码

复杂度分析

  • 时间复杂度:$O(N)$。
  • 空间复杂度:$O(1)$。

1024. 视频拼接

题目描述

你将会获得一系列视频片段,这些片段来自于一项持续时长为  T  秒的体育赛事。这些片段可能有所重叠,也可能长度不一。

视频片段  clips[i]  都用区间进行表示:开始于  clips[i][0]  并于  clips[i][1]  结束。我们甚至可以对这些片段自由地再剪辑,例如片段  [0, 7]  可以剪切成  [0, 1] + [1, 3] + [3, 7]  三部分。

我们需要将这些片段进行再剪辑,并将剪辑后的内容拼接成覆盖整个运动过程的片段([0, T])。返回所需片段的最小数目,如果无法完成该任务,则返回  -1 。

示例 1:

输入:clips = [[0,2],[4,6],[8,10],[1,9],[1,5],[5,9]], T = 10输出:3解释:我们选中 [0,2], [8,10], [1,9] 这三个片段。然后,按下面的方案重制比赛片段:将 [1,9] 再剪辑为 [1,2] + [2,8] + [8,9] 。现在我们手上有 [0,2] + [2,8] + [8,10],而这些涵盖了整场比赛 [0, 10]。示例 2:

输入:clips = [[0,1],[1,2]], T = 5输出:-1解释:我们无法只用 [0,1] 和 [0,2] 覆盖 [0,5] 的整个过程。示例 3:

输入:clips = [[0,1],[6,8],[0,2],[5,6],[0,4],[0,3],[6,7],[1,3],[4,7],[1,4],[2,5],[2,6],[3,4],[4,5],[5,7],[6,9]], T = 9输出:3解释:我们选取片段 [0,4], [4,7] 和 [6,9] 。示例 4:

输入:clips = [[0,4],[2,8]], T = 5输出:2解释:注意,你可能录制超过比赛结束时间的视频。

提示:

1 <= clips.length <= 1000 <= clips[i][0], clips[i][1] <= 1000 <= T <= 100

思路

贪婪策略,我们选择满足条件的最大值。和上面的不同,这次我们需要手动进行一次排序,实际上贪婪策略经常伴随着排序,我们按照 clip[0]从小到大进行排序。

如图:

  • 1 不可以,因此存在断层
  • 2 可以
  • 3 不行,因为不到 T

我们当前的 clip 开始结束时间分别为 s,e。 上一段 clip 的结束时间是 t1,上上一段 clip 结束时间是 t2。

那么这种情况下 t1 实际上是不需要的,因为 t2 完全可以覆盖它:

那什么样 t1 才是需要的呢?如图:

用代码来说的话就是s > t2 and t2 <= t1

代码

代码支持:Python3

Python3 Code:


class Solution:
    def videoStitching(self, clips: List[List[int]], T: int) -> int:
        #  t1 表示选取的上一个clip的结束时间
        #  t2 表示选取的上上一个clip的结束时间
        t2, t1, cnt = -1, 0, 0
        clips.sort(key=lambda a: a[0])
        for s, e in clips:
            # s > t1 已经确定不可以了, t1 >= T 已经可以了
            if s > t1 or t1 >= T:
                break
            if s > t2 and t2 <= t1:
                cnt += 1
                t2 = t1
            t1 = max(t1,e)
        return cnt if t1 >= T else - 1
复制代码

复杂度分析

  • 时间复杂度:由于使用了排序(假设是基于比较的排序),因此时间复杂度为 $O(NlogN)$。
  • 空间复杂度:$O(1)$。

1326. 灌溉花园的最少水龙头数目

题目描述

在 x 轴上有一个一维的花园。花园长度为  n,从点  0  开始,到点  n  结束。

花园里总共有  n + 1 个水龙头,分别位于  [0, 1, ..., n] 。

给你一个整数  n  和一个长度为  n + 1 的整数数组  ranges ,其中  ranges[i] (下标从 0 开始)表示:如果打开点  i  处的水龙头,可以灌溉的区域为  [i -  ranges[i], i + ranges[i]] 。

请你返回可以灌溉整个花园的   最少水龙头数目  。如果花园始终存在无法灌溉到的地方,请你返回  -1 。

示例 1:

输入:n = 5, ranges = [3,4,1,1,0,0]输出:1解释:点 0 处的水龙头可以灌溉区间 [-3,3]点 1 处的水龙头可以灌溉区间 [-3,5]点 2 处的水龙头可以灌溉区间 [1,3]点 3 处的水龙头可以灌溉区间 [2,4]点 4 处的水龙头可以灌溉区间 [4,4]点 5 处的水龙头可以灌溉区间 [5,5]只需要打开点 1 处的水龙头即可灌溉整个花园 [0,5] 。示例 2:

输入:n = 3, ranges = [0,0,0,0]输出:-1解释:即使打开所有水龙头,你也无法灌溉整个花园。示例 3:

输入:n = 7, ranges = [1,2,1,0,2,1,0,1]输出:3示例 4:

输入:n = 8, ranges = [4,0,0,0,0,0,0,0,4]输出:2示例 5:

输入:n = 8, ranges = [4,0,0,0,4,0,0,0,4]输出:1

提示:

1 <= n <= 10^4ranges.length == n + 10 <= ranges[i] <= 100

思路

贪心策略,我们尽量找到能够覆盖最远(右边)位置的水龙头,并记录它最右覆盖的土地。

  • 我们使用 furthest[i] 来记录经过每一个水龙头 i 能够覆盖的最右侧土地。
  • 一共有 n+1 个水龙头,我们遍历 n + 1 次。
  • 对于每次我们计算水龙头的左右边界,[i - ranges[i], i + ranges[i]]
  • 我们更新左右边界范围内的水龙头的 furthest
  • 最后从土地 0 开始,一直到土地 n ,记录水龙头数目

代码

代码支持:Python3

Python3 Code:


class Solution:
    def minTaps(self, n: int, ranges: List[int]) -> int:
        furthest, cnt, cur = [0] * n, 0, 0

        for i in range(n + 1):
            l = max(0, i - ranges[i])
            r = min(n, i + ranges[i])
            for j in range(l, r):
                furthest[j] = max(furthest[j], r)
        while cur < n:
            if furthest[cur] == 0: return -1
            cur = furthest[cur]
            cnt += 1
        return cnt
复制代码

复杂度分析

  • 时间复杂度:时间复杂度取决 l 和 r,也就是说取决于 ranges 数组的值,假设 ranges 的平均大小为 Size 的话,那么时间复杂度为 $O(N * Size)$。
  • 空间复杂度:我们使用了 furthest 数组, 因此空间复杂度为 $O(N)$。

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