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机器怎样可以学得更好?

本系列是台湾大学资讯工程系林軒田(Hsuan-Tien Lin)教授开设的《机器学习基石》课程的梳理。重在梳理,而非详细的笔记,因此可能会略去一些细节。

该课程共16讲,分为4个部分:

  1. 机器什么时候能够学习?(When Can Machines Learn?)
  2. 机器为什么能够学习?(Why Can Machines Learn?)
  3. 机器怎样学习?(How Can Machines Learn?)
  4. 机器怎样可以学得更好?(How Can Machines Learn Better?)

本文是第4部分,对应原课程中的13-16讲。

本部分的主要内容:

  • 过拟合问题,过拟合与噪声、目标函数复杂度的关系;
  • 正则化,正则化与VC理论的联系;
  • 验证,留一交叉验证和V-折交叉验证;
  • 三个学习原则,即奥卡姆剃刀、抽样偏差和数据窥探。

1 过拟合问题

1.1 过拟合的发生

假设现在用带很小噪声的2次多项式生成了5个样本,对于这5个样本,其实用4次多项式就可以完美拟合它:

这样做可使Ein=0E_\text{in}=0,但EoutE_\text{out}却会非常大。

如果出现EinE_\text{in}很小,EoutE_\text{out}很大的情况,就是出现了不好的泛化(bad generalization)。如果在训练的过程中,EinE_\text{in}越来越小,EoutE_\text{out}越来越大,就称为过拟合(overfitting)。

噪声和数据规模都会影响过拟合。先来看以下两个数据集:

  • 数据由10次多项式生成,有一些噪声;
  • 数据由50次多项式生成,无噪声。

数据集图像如下:

如果我们用2次和10次多项式分别拟合以上两个数据集,那么在从g2H2g_2 \in \mathcal{H}_2g10H10g_{10} \in \mathcal{H}_{10}的过程中,会发生过拟合吗?

拟合结果如下:

比较后发现,在两个数据集中,都发生了过拟合!

来看学习曲线,当NN\to \infty时显然H10\mathcal{H}_{10}会有更小的Eout\overline{E_{out}},但NN较小时它会有很大的泛化误差。灰色区域就是过拟合发生的区域。

其实对于由无噪声的50次多项式生成的数据,“目标函数的复杂度”本身就可以看作类似的噪声。

接下来做个更细节的实验。用

y=f(x)+ϵGaussian(q=0Qfαqxq,σ2)\begin{aligned} y &= f(x) + \epsilon\\ &\sim \text{Gaussian}\left(\sum_{q=0}^{Q_f} \alpha_q x^q, \sigma^2 \right) \end{aligned}

生成NN个数据,其中ϵ\epsilon是独立同分布的高斯噪声,噪声水平为σ2\sigma^2f(x)f(x)关于复杂度水平QfQ_f是均匀分布的。也就是说,目标函数有QfQ_fσ2\sigma^2两个变量。

然后,分别固定Qf=20Q_f=20σ2=0.1\sigma^2=0.1,还是分别用2次和10次多项式拟合数据,并用Eout(g10)Eout(g2)E_\text{out}(g_{10})-E_\text{out}(g_{2})度量过拟合水平。结果如下:

颜色偏红的区域,就是发生了过拟合。

加上去的σ2\sigma^2高斯噪声可称为stochastic noise,而目标函数的次数QfQ_f也有类似噪声的影响,因此可叫deterministic noise

如果fHf\notin \mathcal{H},那么ff一定有某些部分就无法被H\mathcal{H}所捕捉到,最好的hHh^*\in\mathcal{H}ff的差就是deterministic noise,它的表现与随机噪声没什么不一样(与伪随机数生成器类似)。它与stochastic noise的不同之处在于,它与H\mathcal{H}有关,且对于每个xx,它的值是确定的:

1.2 过拟合的处理

一般来说,处理过拟合的思路有以下几种:

  • 从简单的模型开始;
  • 数据清洗(data cleaning),将错误的数据修正(如更正它的标签类别);
  • 数据剪枝(data pruning),删去离群点(outlier);
  • data hinting,当样本量不够时,可以对现有样本做些简单的处理,增加样本量,如在数字分类中,可以将数据微微旋转或平移而不改变它们的标签,这样就可增大样本量;
  • 正则化(regularization),见下节;
  • 验证(validation),见后文。

2 正则化(regularization)

2.1 正则化

正则化的思想是好比从H10\mathcal{H}_{10}“逐步回退”到H2\mathcal{H}_{2}。这个名字的由来是在早期做函数逼近(function approximation)时,有很多问题是ill-posed problems,即有很多函数都是满足问题的解,所以要加入一些限制条件。从某种意义上说,机器学习中的过拟合也是“正确的解太多”的问题。

H10\mathcal{H}_{10}中假设的一般形式为

w0+w1x+w2x2+w3x3++w10x10w_0+w_1 x+w_2 x^2+w_3 x^3+\cdots+w_{10} x^{10}

H2\mathcal{H}_{2}中假设的一般形式为

w0+w1x+w2x2w_0+w_1 x+w_2 x^2

其实只要限制w3=w4==w10=0w_3=w_4=\cdots=w_{10}=0,就会有H10=H2\mathcal{H}_{10}=\mathcal{H}_{2}。如果在用H10\mathcal{H}_{10}时加上这个限制,其实就是在用H2\mathcal{H}_2做机器学习。

H2\mathcal{H}_2的灵活性有限,但H10\mathcal{H}_{10}又很危险,那有没有折中一些的假设集呢?不妨把这个条件放松一些,变成q=0101[w10]3\sum\limits_{q=0}^{10}\mathbf{1}_{[w_1\ne 0]}\le 3,记在该限制下的假设集为H2\mathcal{H}_2',有H2H2H10\mathcal{H}_{2}\subset \mathcal{H}_{2}' \subset \mathcal{H}_{10},即它比H2\mathcal{H}_{2}更灵活,但又没有H10\mathcal{H}_{10}那么危险。

H2\mathcal{H}_{2}'下,求解的问题转化成了

minwR10+1Ein(w)s.t. q=0101[w10]3\min\limits_{\mathbf{w}\in \mathbb{R}^{10+1}} E_\text{in}(\mathbf{w})\quad \text{s.t. } \sum\limits_{q=0}^{10}\mathbf{1}_{[w_1\ne 0]}\le 3

这是个NP-hard问题,复杂度很高。不如再将它变为

minwR10+1Ein(w)s.t. q=010wq2C\min\limits_{\mathbf{w}\in \mathbb{R}^{10+1}} E_\text{in}(\mathbf{w})\quad \text{s.t. } \sum\limits_{q=0}^{10}w^2_q \le C

记该假设集为H(C)\mathcal{H}(C),它与H2\mathcal{H}_2'是有部分重叠的,并且对于CC有软的、光滑的结构:

H0H1H=H10\mathcal{H}_{0} \subset \mathcal{H}_{1} \subset \cdots \subset \mathcal{H}_{\infty} =\mathcal{H}_{10}

记在H(C)\mathcal{H}(C)下找到的最优解为wREG\mathbf{w}_\text{REG}

在没有正则化时,用梯度下降更新参数的方向是Ein(w)-\nabla E_\text{in}(\mathbf{w})。而在加入了正则化wTwC\mathbf{w}^T \mathbf{w}\le C的限制时,必须在该限制下更新,如下图:

wTw=C\mathbf{w}^T \mathbf{w}= C的法向量(normal vector)就是w\mathbf{w},从图中可知,只要Ein(w)-\nabla E_\text{in}(\mathbf{w})w\mathbf{w}不平行,就可继续在该限制下降低Ein(w)E_\text{in}(\mathbf{w}),因此,达到最优解时,一定有

Ein(w)wREG-\nabla E_\text{in}(\mathbf{w}) \propto \mathbf{w}_\text{REG}

由此,问题可以转化为求解

Ein(wREG)+2λNwREG=0\nabla E_\text{in}(\mathbf{w}_\text{REG}) +\dfrac{2 \lambda}{N} \mathbf{w}_\text{REG}=0

其中λ\lambda是引入的拉格朗日乘子(Lagrange multiplier)。假设已知λ>0\lambda>0,只需要把梯度的式子写出来,即有:

2N(XTXwREGXTy)+2λNwREG=0\dfrac{2}{N}(X^T X\mathbf{w}_\text{REG}-X^T \mathbf{y})+\dfrac{2 \lambda}{N} \mathbf{w}_\text{REG}=0

直接求解即可得

wREG(XTX+λI)1XTy\mathbf{w}_\text{REG}\leftarrow (X^T X+\lambda I)^{-1} X^T\mathbf{y}

只要λ>0\lambda>0XTX+λIX^T X+\lambda I就是正定矩阵,它一定可逆。

在统计学中,这通常叫岭回归(ridge regression)。

换一种视角来看,求解

Ein(wREG)+2λNwREG=0\nabla E_\text{in}(\mathbf{w}_\text{REG}) +\dfrac{2 \lambda}{N} \mathbf{w}_\text{REG}=0

就等价于求解(相当于对上式两边取积分)

minwEin(w)+λNwTw\min\limits_{\mathbf{w}} E_\text{in}(\mathbf{w})+\dfrac{\lambda}{N}\mathbf{w}^T\mathbf{w}

wTw\mathbf{w}^T\mathbf{w}可叫regularizer,整个Ein(w)+λNwTwE_\text{in}(\mathbf{w})+\dfrac{\lambda}{N}\mathbf{w}^T\mathbf{w}可叫作augmented error Eaug(w)E_\text{aug}(\mathbf{w})

这样,原本是给定CC后解一个条件最值问题,现在转化成了一个给定λ\lambda的无条件最值问题。

可将+λNwTw+\dfrac{\lambda}{N}\mathbf{w}^T\mathbf{w}称为weight-decay regulariztion,因为更大的λ\lambda,就相当于让w\mathbf{w}更短一些,也相当于CC更小一点。

一个小细节:在做特征变换时,如果用Φ(x)=(1,x,x2,,xQ)\Phi(\mathbf{x})=(1,x,x^2,\ldots,x^Q),假设xn[1,+1]x_n \in [-1,+1],那么xnqx^q_n会非常小,这一项本来就需要很大的wqw_q才能起到作用,如果此时再用正则化,就对高维的系数有些“过度惩罚”了,因为它本来就要比较大才行。因此,可在多项式的空间中找出一些正交的基函数(orthonormal basis function),这是一些比较特别的多项式,叫勒让德多项式(Legendre Polynomials),再用这些多项式这样做特征变换(1,L1(x),L2(x),,LQ(x))(1,L_1(x),L_2(x),\ldots,L_Q(x))即可。前5个勒让德多项式如下图:

2.2 正则化与VC理论

在最小化augmented error的时候,尽管它与带约束最值问题是等价的,但在计算时,其实并没有真正的将w\mathbf{w}限制在H(C)\mathcal{H}(C)中。那么正则化究竟是怎么发生的?

可以从另一个角度看augmented error:

Eaug(w)=Ein(w)+λNwTwE_\text{aug}(\mathbf{w})=E_\text{in}(\mathbf{w})+\dfrac{\lambda}{N}\mathbf{w}^T\mathbf{w}

若记wTw\mathbf{w}^T\mathbf{w}Ω(w)\Omega(\mathbf{w}),它度量的是某个假设w\mathbf{w}的复杂度。而在VC Bound中

Eout(w)Ein(w)+Ω(H)E_\text{out}(\mathbf{w})\le E_\text{in}(\mathbf{w})+\Omega(\mathcal{H})

Ω(H)\Omega(\mathcal{H})度量的是整个H\mathcal{H}的复杂度。如果λNΩ(w)\dfrac{\lambda}{N}\Omega(\mathbf{w})Ω(H)\Omega(\mathcal{H})有某种关联,EaugE_\text{aug}就可以直接作为EoutE_\text{out}的代理,不需要再通过做好EinE_\text{in}来做好EoutE_\text{out},而同时,又可以享受整个H\mathcal{H}的高度灵活性。

再换个角度,原本对于整个H\mathcal{H}dVC(H)=d~+1d_\text{VC}(\mathcal{H})=\tilde{d}+1,而现在相当于只考虑H(C)\mathcal{H}(C)中的假设,也就是说VC维变成了dVC(H(C))d_\text{VC}(\mathcal{H}(C))。可以定义一个“有效VC维”dEFF(H,A)d_\text{EFF}(\mathcal{H},\mathcal{A}),只要A\mathcal{A}中做了正则化,有效VC维就会比较小。

2.3 更一般的正则项

有没有更一般的正则项Ω(w)\Omega(\mathbf{w})?该如何选择呢?有以下建议:

  • 与目标有关(target-dependent),如果知道目标函数的一些性质,就可以写出来,比如我们预先知道目标函数是接近于偶函数的,那就可以选取1[q is odd]wq2\sum \mathbf{1}_{[q \text{ is odd}]} w^2_q
  • 合理的(plausible),可以选平滑的或简单的,如为了稀疏性而选L1正则项wq\sum\vert w_q \vert,下文会说明;
  • 友好的(friendly),即容易优化,如L2正则项wq2\sum w_q^2
  • 就算选的正则项不好,也没有关系,因为可以靠λ\lambda来调节,最差也就是相当于没有加入正则项。

L1正则项如下图:

它是凸的,但不是处处可微,加入它之后,解具有稀疏性。如果在实际中需要有稀疏解,L1就会很有用。

λ\lambda要怎么选呢?可根据EoutE_\text{out}的情况选出的最优λ\lambda,示例如下(加粗点为最优λ\lambda):

从图中可以看到,噪声越大,越需要增加regularization。

但一般情况下,噪声是未知的,该如何选择合适的λ\lambda

3 验证(Validation)

3.1 验证集

λ\lambda该如何选择?我们完全不知道EoutE_\text{out},并且也不能直接通过EinE_\text{in}做选择。如果有一个从来没被使用过的测试集就好了,这样就可以根据测试集进行选择:

m=argmin1mM(Em=Etest(Am(D)))m^*=\mathop{\arg\min}\limits_{1\le m\le M} \left( E_m=E_\text{test}(\mathcal{A}_m(\mathcal{D})) \right)

并且,这样做是有泛化保证的(Hoeffding):

Eout(gm)Etest(gm)+O(logMNtest)E_\text{out}(g_{m^*})\le E_\text{test}(g_{m^*})+O(\sqrt{\dfrac{\log M}{N_\text{test}}})

但哪里有真正测试集?只能折中地从D\mathcal{D}划分出一部分数据作为验证集DvalD\mathcal{D}_\text{val}\subset \mathcal{D}了,当然,也要求它是在过去从未被Am\mathcal{A}_m使用过的。

划分验证集Dval\mathcal{D}_\text{val}的过程如下:

用训练集得到的gmg^-_m,也可以有泛化保证:

Eout(gm)Eval(gm)+O(logMK)E_\text{out}(g_m^-)\le E_\text{val}(g_m^-)+O(\sqrt{\dfrac{\log M}{K}})

做验证时的一般流程如下:

可以看到,在用验证集选出最好的模型gmg^-_{m^*}后,还是要用所有的数据再训练一个最好的模型gmg_{m^*}出来,一般来说这次训练得到的gmg_m^*会由于训练数据量的更大而有更低的EoutE_\text{out},见下图:

图中最下面的虚线为EoutE_\text{out}。可以看到,KK不能过大或过小,如果KK过小,虽然gmgmg_m^-\approx g_m,但EvalE_\text{val}EoutE_\text{out}会差别很大,而如果KK过大,尽管EvalEoutE_\text{val}\approx E_\text{out},但会使gmg_m^-gmg_m差很多。

我们真正想要做到的是

Eout(g)Eout(g)Eval(g)E_\text{out}(g)\approx E_\text{out}(g^-)\approx E_\text{val}(g^-)

第一个约等号要求KK较小,第二个约等号要求KK较大,因此必须选一个合适的KK,按经验法则可选K=N5K=\dfrac{N}{5}

3.2 留一交叉验证(LOOCV)

如果让K=1K=1,即只留一个样本nn作为验证集,记

Eval(n)(gn)=err(gn(xn),yn)=enE_\text{val}^{(n)}(g_n^-)=\text{err}(g_n^-(\mathbf{x}_n),y_n)=e_n

但单个ene_n无法告诉我们准确的信息,要想办法对所有可能的Eval(n)(gn)E_\text{val}^{(n)}(g_n^-)取平均。可以用留一交叉验证(Leave-One-Out Cross Validation):

Eloocv(H,A)=1Nn=1Nen=1Nn=1Nerr(gn(xn),yn)E_\text{loocv}(\mathcal{H},\mathcal{A})=\dfrac{1}{N}\sum\limits_{n=1}^{N} e_n=\dfrac{1}{N} \sum\limits_{n=1}^{N} \text{err}(g_n^- (\mathbf{x}_n),y_n)

我们希望的是有Eloocv(H,A)Eout(g)E_\text{loocv}(\mathcal{H},\mathcal{A})\approx E_\text{out}(g)。可作证明:

EDEloovc(H,A)=ED1Nn=1Nen=1Nn=1NEDen=1Nn=1NEDnE(xn,yn)err(gn(xn),yn)=1Nn=1NEDnEout(gn)=1Nn=1NEout(N1)=Eout(N1)\begin{aligned} &\mathop{\mathcal{E}}\limits_{\mathcal{D}} E_\text{loovc}(\mathcal{H},\mathcal{A})\\ =& \mathop{\mathcal{E}}\limits_{\mathcal{D}}\dfrac{1}{N}\sum\limits_{n=1}^{N} e_n\\ =&\dfrac{1}{N} \sum\limits_{n=1}^{N} \mathop{\mathcal{E}}\limits_{\mathcal{D}} e_n\\ =&\dfrac{1}{N} \sum\limits_{n=1}^{N} \mathop{\mathcal{E}}\limits_{\mathcal{D}_n} \mathop{\mathcal{E}}\limits_{(\mathbf{x}_n,y_n)} \text{err}(g_n^-(\mathbf{x}_n),y_n)\\ =&\dfrac{1}{N} \sum\limits_{n=1}^{N} \mathop{\mathcal{E}}\limits_{\mathcal{D}_n} E_\text{out}(g_n^-)\\ =&\dfrac{1}{N} \sum\limits_{n=1}^{N} \overline{E_\text{out}}(N-1)\\ =& \overline{E_\text{out}}(N-1) \end{aligned}

由于Eloovc(H,A)E_\text{loovc}(\mathcal{H},\mathcal{A})的期望会告诉我们一些关于Eout(g)E_\text{out}(g^-)的期望的信息,因此也叫作Eout(g)E_\text{out}(g)的“几乎无偏估计”(almost unbiased estimate)。

用手写数字识别——对数字是否为1进行分类——看看效果,两个基础特征为对称性和平均强度(average intensity),对它们进行特征变换(增加特征数量),再分别用EinE_\text{in}EloocvE_\text{loocv}进行参数选择(参数是变换后的特征个数),结果如下:

如果将EoutE_\text{out}EinE_\text{in}EloocvE_\text{loocv}分别随特征数变化而变化的情况画出来,如图:

3.3 VV-折交叉验证

如果有1000个点,做留一交叉验证就要计算1000次ene_n,每次计算还要用999个样本做训练,除了少数算法(如线性回归,它有解析解),在大多数情况下会非常耗时间。另一方面,由上一节最后可看到,由于EloocvE_\text{loocv}是在单个点上做平均,结果会有跳动,不够稳定。因此,在实际中,loocv并不是很常用。

在实际中,更常用的是VV折交叉验证(VV-Fold Cross Validation),即将D\mathcal{D}随机分为VV等分,轮流用每一份做验证,用剩下的V1V-1份做训练,在实际中一般常取V=10V=10,如下图:

这样能计算出

Ecv(H,A)=1Vv=1VEval(v)(gv)E_\text{cv}(\mathcal{H}, \mathcal{A})=\dfrac{1}{V}\sum\limits_{v=1}^{V} E_\text{val}^{(v)}(g_v^-)

再用它对参数做选择:

m=argmin1mM(Em=Ecv(Hm,Am))m^*=\mathop{\arg\min}\limits_{1\le m\le M} \left( E_m=E_\text{cv}(\mathcal{H}_m, \mathcal{A}_m) \right)

值得注意的是,由于验证过程也是在做选择,它的结果依旧会比最后的测试结果乐观一些。因此,最后重要的是测试的结果,而非找出来的最好的验证的结果。

4 三个学习的原则

这里介绍三个学习的原则。

4.1 奥卡姆剃刀

首先是奥卡姆剃刀(Occam's Razor)。

An explanation of the data should be made as simple as possible, but no simpler.

--Albert Einsterin (?)

这句话传说是爱因斯坦所说,但没有证据。最早可追溯到奥卡姆的话:

entia non sunt multiplicanda praeter necessitatem (entities must not be multiplied beyond necessity)

--William of Occam (1287-1347)

在机器学习中,这是说能拟合数据的最简单的模型往往是最合理的。

什么叫简单的模型呢?对于单个假设hh来说,要求Ω(h)\Omega(h)较小即参数较少,对于一个模型(假设集)H\mathcal{H}来说,要求Ω(H)\Omega(\mathcal{H})较小即它没包含太多可能的假设。这两者是相关的,比如H\vert \mathcal{H} \vert规模是22^\ell,那么其实只需要\ell个参数就可以描述所有的hh,因此小的Ω(H)\Omega(\mathcal{H})也就意味着小的Ω(h)\Omega(h)

从哲学意义上说,越简单的模型,“拟合”发生的概率越小,如果真的发生了,那就说明数据中可能真的有一些比较重要的规律。

4.2 抽样偏差

第二个是要注意抽样偏差(Sampling Bias)。

如果数据的抽样过程存在偏差,那么机器学习也会产生一个有偏差的结果。

在讲解VC维时,提到过一个前提条件,就是训练数据和测试数据需要来自同一个分布。当无法满足时,经验法则是,尽可能让测试环境和训练环境尽可能匹配。

4.3 数据窥探

第三是要注意数据窥探(Data Snooping)。

如果你通过观察,发现数据比较符合某个模型,进而选用该模型,这是比较危险的,因为相当于加入了你大脑中的模型的复杂度。

在任何使用数据的过程中,其实都是间接窥探到了数据。在窥探了数据的表现后,做任何决策,都会引入“大脑”复杂度。

比如在做scaling时,不能把训练集和测试集放在一起做scaling,而只能对训练集做。

其实在机器学习的前沿研究中,也存在类似的情况。比如第一篇论文发现了H1\mathcal{H}_1会在D\mathcal{D}上表现较好,而第二篇论文提出了H2\mathcal{H}_2,它在D\mathcal{D}上比H1\mathcal{H}_1表现得更好(否则就不会发表),第三篇也如此……如果将所有论文看作一篇最终版的论文,那么真正的VC维其实是dvc(mHm)d_\text{vc}(\cup_m \mathcal{H}_m),它会非常大,泛化会非常差。这是因为其实在每一步过程中,作者都通过阅读前人的文献而窥探了数据。

因此在做机器学习时,要审慎地处理数据。要避免用数据来做一些决策,即最好事先就将领域知识加入到模型中,而不是在观察了数据后再把一些特性加入模型中。另外,无论是在实际操作中,还是在看论文过程中,或者是在对待自己的结果时,都要时刻保持怀疑。