Catmull–Clark 细分算法 UV 问题及解法

在三维计算机图形学中，算法的选择和实现至关重要。本文将详细讨论 Catmull–Clark 细分算法，以及在使用它生成引擎中的球体时遇到的一些 UV mapping 问题及其解决方案。

什么是 Catmull–Clark 细分算法

Catmull–Clark 细分算法是一种常用的表面细分方法。它适用于任何多面体网格模型，能够创建更高质量的曲面。通过迭代运算，Catmull-Clark 细分算法能够逐渐将任意多边形网格模型转化为四边形网格模型，实现从粗糙到平滑的过渡。

来源：https://danielsieger.com/blog/2021/03/27/generating-spheres.html

已知初始面cell（待细分的四边形面）、顶点坐标position，Catmull-Clark 细分算法的基本步骤如下：

facePoint：对于每一个面，计算其所有顶点坐标的平均值
edgePoint：对于每一条边，计算其两个顶点和与其相邻的所有面点的平均值
新position：对于每一个原有的顶点，通过计算其相邻所有面点的平均值F、相邻所有边中点的平均值R、原位置P的重心坐标得到新的顶点位置：（n为相邻面数）

生成新的面：对于每一个面，连接新position（三角） - 一条边edgePoint（正方体） - facePoint（球体） - 另一条边edgePoint（正方体），将一个面分成四个新的面

来源：https://en.wikipedia.org/wiki/Catmull%E2%80%93Clark_subdivision_surface

为什么选择该算法生成引擎中的球体

Catmull–Clark 细分算法在处理几何表面的细分和平滑过程时，会考虑到相邻的面、边和顶点的信息，因此生成的球体相较于普通的 UV sphere(下方左图) 方法不仅数量级更低，而且其球面更为平滑，定点分布均匀、视觉效果也更好。

球体 UV Mapping

在生成mesh面后，需要考虑如何将 2D 纹理映射到该球体上。一种通用的方法是使用极坐标系，即

从而映射至（-1，1）的范围内，得到

UV 分布问题以及解决方案

在使用极坐标得到 uv 后，立刻发现纹理沿着纬度方向出现了压缩、球体两极出现了旋转。这两者都是 vertex sharing 造成的。
纹理沿维度方向出现压缩两极出现了纹理旋转

纹理压缩

出现压缩的原因不难分析，从球体顶视图看，uv坐标中u，本该是 0.875 - 1.00的部分，变成了 0.875 - 0.00。

找到u = 0的顶点不难，但如何定位到被影响的三角面？

这样的三角面具有一个显著的特征，即以 uv 坐标为顶点构成的三角形，其方向与球体其他三角面不同。即 uv 坐标构成三角面的法向量与其他不同：

    const m1 = indices[i * 3];
    const m2 = indices[i * 3 + 1];
    const m3 = indices[i * 3 + 2];

    A.set(uvs[m1].x, uvs[m1].y, 0);
    B.set(uvs[m2].x, uvs[m2].y, 0);
    C.set(uvs[m3].x, uvs[m3].y, 0);

    // ab side of this triangle
    Vector3.subtract(B, A, AB);
    // ac side of this triangle
    Vector3.subtract(C, A, AC);
    // uv's normal of this triangle
    Vector3.cross(AB, AC, normal);

    // direction reversed triangle
    if (normal.z > 0) {
      ...
    }

纹理旋转

顶点出现纹理旋转的原因是，公用极点的三角面如下图黄色虚线。这个问题并没有一种通用的使用方案，我采用的一种解决方案是，取极点上任意给定三角形的另外两个顶点的U分量的平均值，即蓝色虚线。平均U分量的方法通过在纹理的顶部边缘均匀地排列三角形的尖端，最小化了三角形的内部拉伸。这样在细分步数较少时候仍然可以看到接缝，但是纹理旋转已经消失。

球体半径

以上两步结束后，球体极点出现了偏移。打印可知，极点的uv坐标中v不为0。这是因为该算法细分初始值为一个边长为1的正方体，细分后并非球体。因此需要将得到的分布均匀的顶点，重新投影到球体上。即最终顶点位置为该点法向量乘以半径。

对比

与之前球体算法进行比较，面数接近时更圆：
左：768面， step（细分次数） = 3；右：722面，segments = 19
顶视图
顶视图贴材质

小结

在实践中Catmull-Clark细分算法被广泛用于生成高质量的球体模型。尽管如此，该算法在进行UV映射时会出现一些问题，如图像压缩、旋转图案以及极点中心的偏移。我们提出了针对这些问题的解决策略，包括寻找并替换UV法线相反的三角面，以及校正顶点位置。尽管需要一些额外的计算，但能有效提高球体模型的质量，使其更加真实和可信。

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